Ubungen zu Analysis 1 WS 12/13, 1. ¨Ubung Di 9. 10. 20012

Übungen zu Analysis 1 WS 12/13, 1. Übung Di 9. 10. 20012
Man verwende die aus der Vorlesung LinAlg bekannte Logik um die unten stehenden Aufgaben zu lösen.
1. Seien A, B, C ⊆ M Mengen. Man berechne A ∪ ∅, (A ∪ B)c ∪ (A \ B), ∅c , A × ∅.
Weiters zeigen Sie die de Morganschen Regeln: (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , (A ∪ B)c =
Ac ∩ Bc .
2. Zeigen Sie, dass A ⊆ B genau dann gilt, wenn A ∩ B = A gilt. Was folgt aus
A \ B = A ∪ B für die Menge B? Was folgt aus (A \ B) ∪ (B \ A) = ∅ für die Menge
A und B?
3. Seien Xi , i ∈ I und Yi , i ∈ I Familien von Mengen. Man beweise: (∪i∈I (Xi ∪
Yi ))c = (∩i∈I (Xi )c ) ∩ (∩i∈I (Yi )c ). Weiters zeige man: (∪i∈I Xi ) ∩ (∪i∈I Yi ) =
∪(i, j)∈I×I (Xi ∩ Y j ).
4. Sei M eine Menge und sei A ⊆ P(M). Weiters sei B die Menge aller B ⊆ M,
sodass es eine Familie (Ai )i∈I gibt, sodass Ai ∈ A, i ∈ I, und B = ∪i∈I Ai . Man
zeige: Ist (Bi )i∈I eine Familie von Mengen aus B, so folgt ∪i∈I Bi ∈ B.
5. Beweisen Sie das Assoziativitätsgesetz für die Verknüpfung von Funktionen unter Verwendung der im Skriptum (Vorlesung) gegebenen Definition einer Funktion:
( f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) h : M → N, g : N → P, f : P → Q.
6. Man zeige:
Eine Funktion f : M → N ist genau dann injektiv, wenn aus f ◦ g = f ◦ h für
g, h : L → M folgt, dass g = h gilt (’Linkskürzen’ ).
Eine Funktion f : M → N ist genau dann surjektiv, wenn aus g ◦ f = h ◦ f für
g, h : N → P folgt, dass g = h gilt (’Rechtskürzen’ ).
7. Seien f : M → N und g : N → P Funktionen. Zeige: Sind f und g beide injektiv
(surjektiv), so ist auch g ◦ f injektiv (surjektiv). Weiters zeige: Ist g ◦ f injektiv,
so muss f injektiv sein. Ist g ◦ f surjektiv, so muss g surjektiv sein.
8. Man zeige: Sei f : M → N eine Funktion. Sind F, G ⊆ N, so folgt f −1 (F ∩ G) =
f −1 (F) ∩ f −1 (G) und f −1 (F ∪ G) = f −1 (F) ∪ f −1 (G).
Weiters zeige: Sei f : M → N eine Funktion. Sind A ⊆ B ⊆ M, so folgt
f (A) ⊆ f (B). Sind F ⊆ G ⊆ N, so folgt f −1 (F) ⊆ f −1 (G)
9. Man zeige: Sei f : M → N eine Funktion. Sind A, B ⊆ M, so folgt f (A ∪ B) =
f (A) ∪ f (B). Gilt auch f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)? Wenn nicht, dann gebe man ein
Gegenbeispiel an.
10. Sei M = {1, 2, . . . , 10}, und sei N = {2, . . . , 9} und f : N → M, n 7→ n + 1.
Wieviele Fortsetzungen von f zu einer Funktion g : M → M gibt es? Weiters
gebe man alle Fortsetzungen von f zu einer Funktion g : M → M an, sodass g
surjektiv ist.