Lineare Algebra I

Prof. Dr. Oleg Bogopolski
Thomas Leßmann
Abgabe Mi, 21.04, 11 Uhr
Lineare Algebra I
Übungsblatt 1
Aufgabe 1:
Wir definieren die Mengen A := {a, 2, 3} und B := {3, b}. Schreiben Sie die folgenden Mengen explizit auf:
(a) A × B,
(b) P2 (A × B).
Aufgabe 2:
Sei n eine natürliche
Zahlnund k eine ganze Zahl mit 0 6 k < n. Beweisen Sie die
n+1
n
Formel k+1 = k+1 + k mit Hilfe der Aufgabe 5 von Blatt 0.
Aufgabe 3:
Für zwei Mengen A, B zeige man:
(a) Es gilt P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).
(b) Es gilt P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) genau dann, wenn A ⊆ B oder B ⊆ A.
Die für die nächsten beiden Aufgaben benötigten Definitionen finden Sie auf der
zweiten Seite dieses Dokuments.
Aufgabe 4:
Seien X, Y und Z Mengen und f : X → Y , g : Y → Z Abbildungen zwischen diesen.
Entscheiden Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), welche der folgenden Implikationen
richtig sind:
(a) Wenn g ◦ f surjektiv ist, dann ist g surjektiv.
(b) Wenn g ◦ f surjektiv ist, dann ist f surjektiv.
(c) Wenn g ◦ f injektiv ist, dann ist g injektiv.
(d) Wenn g ◦ f injektiv ist, dann ist f injektiv.
Aufgabe 5:
Seien A1 , A2 Teilmengen einer Menge X und B1 , B2 Teilmengen einer Menge Y . Für
eine Abbildung f : X → Y zeige man:
(a) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ),
(b) f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ),
(c) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ),
(d) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
Entscheiden Sie außerdem, ob in Aufgabenteil (b) auch stets Gleichheit gilt. Geben
Sie hierzu einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an.
Definitionen für die Aufgaben 4 und 5
• Eine Abbildung f von der Menge X in die Menge Y ist eine Vorschrift, die
jedem x ∈ X ein Element y ∈ Y zuordnet. Man schreibt f : X → Y, x 7→ f (x).
Beispiele: (1) f : N → N, x 7→ x2
(2) f : {1, 2, 3} → {1, 2, 4} , f (1) = 2, f (2) = 2, f (3) = 4
• Sei A ⊂ X. Dann heißt f (A) = {f (x) | x ∈ A} das Bild von A.
• Sei B ⊂ Y . Dann heißt f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} das Urbild von B.
• Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ X mit x1 6= x2
gilt, dass f (x1 ) 6= f (x2 ) ist.
• Eine Abbildung f : X → Y heißt surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ Y mindestens
ein x ∈ X mit f (x) = y gibt.
• Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie gleichzeitig injektiv und surjektiv ist.
• Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Die Verknüpfung g ◦ f ist die
wie folgt definierte Abbildung:
g ◦ f : X → Z, x 7→ g(f (x)).