Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 1, bis zum 9.3.2012 ax2 + bx +1

Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 1, bis zum 9.3.2012
1. I.) Formalisieren Sie die folgenden Aussagen a) bis c) wie im folgenden Beispiel:
Sei K ein Teilmenge der reellen Zahlen.
Aussage: K ist genau dann kompakt, wenn K abgeschlossen und beschränkt ist.
Dafür definieren wir die Aussagen: a: „ K ist kompakt“, b: „ K ist abgeschlossen“ und c: „ K ist
beschränkt“. Dann ist die zusammengesetzte Aussage gegeben durch a
(b c).
Formalisieren Sie:
, ^
a) Es seien K eine Menge und f eine Funktion.
Aussage: Wenn K kompakt und f stetig ist, dann besitzt
f
ein Maximum in
K
.
b) Es seien a; b reelle Zahlen.
Aussage: Wenn a echt kleiner als Null ist, oder b2 echt größer als 4a ist, so besitzt die Gleichung
2
ax + bx + 1 = 0 mit der Unbekannten x eine reelle Lösung.
c) Es seien G; H Mengen und z eine komplexe Zahl.
Aussage: Ist G konform äquivalent zu H und ist z ein Punkt in
menhängend und z ist ein Randpunkt von G.
II.) Es seien
a; b; c
)
) ^
_ )
a)
a
b)
a
c)
(a
, dann Ist
G
G
einfach zusam-
Aussagen. Formulieren Sie sinnvolle Sätze mit folgender logischer Struktur:
b
(b
c)
b)
c
) _
Zum Beispiel ist eine Formulierung der Aussage a
(b c) gegeben durch:
Das Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ. Daher ist das Quadrat einer reellen Zahl 0 oder
das Quadrat einer reellen Zahl ist positiv.
2. In einem Juweliergeschäft wurde eingebrochen. Als Täter kommen Frau Anna, Herr Boris und Herr
Cyrill in Frage. Der mit den Ermittlungen betraute Kommissar hat in seinem Bericht die folgenden
Tatsachen notiert:
a) Wenn sich Herr Boris oder Herr Cyrill als Täter herausstellt, dann ist Frau Anna unschuldig.
b) Ist aber Frau Anna oder Herr Cyrill unschuldig, dann muss Herr Boris ein Täter sein.
c) Ist Herr Cyrill schuldig, dann ist Frau Anna eine Mittäterin.
Helfen Sie dem Kommissar indem Sie zeigen wer der Täter ist bzw. wer die Täter sind.
(Verwenden Sie Abkürzungen für Aussagen, zum Beispiel: a für „Frau Anna ist die Täterin“.)
3. Es seien
p; q; r; s
Aussagen. Bilden Sie die Negationen der folgenden Verknüpfungen:
) ^
^ _ )
) ^: )
a)
p
b)
q
c)
[q
4. Es seien
(q
(p
r)
r)
r]
p
und
s
(
q
p)
s
Aussagen, die Verknüpfung nund, in Zeichen Z, ist definiert durch
Definieren Sie die Aussagen
:, ^
p
p
q
und
q
w
w
f
w
f
w
f
w
w
f
f
w
p
_
q
p
Zq
p
durch die Verknüpfung nund.
1
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 2, bis zum 16.3.2012
5. Es seien p; q; r Aussagen. Zeigen Sie mit Hilfe von äquivalenten Umformungen, dass die folgenden
Aussageverknüpfungen Tautologien sind:
^ _ ,,
b)
^ ) ,:_ ) .
Überprüfen Sie, ob
) ^: , : ^
a)
(p
p
((p
q)
q)
p
r)
(
(q
p
(p
r ))
q)
(
q
p
q)
eine Tautologie ist.
6. Der Prüfungsmodus bei der Lehrveranstaltung Grundbegriffe der Archäologie wird wie folgt angegeben: Ein Studierender / eine Studierende bekommt ein positives Zeugnis, wenn die Abschlussklausur
mit mehr als 50% der Punkte abgeschlossen wird, wenn mindestens 60% der Hausübungen abgegeben
wurde und wenn alle, im Laufe des Semesters erbrachten Leistungen in Summe mit mehr als 50%
der maximal erreichbaren Punkteanzahl bewertet wurden.
Formalisieren sie diesen Prüfungsmodus als mathematische Implikation unter Verwendung der Aussagen
a
:
Für den Studierenden
wird ein positives Zeugnis ausgestellt.
b
:
Studierender X hat in Summe im ganzen Semester mehr als 50% der maximal erreichbaren
Punkte bekommen.
c
:
Studierender X hat in der Abschlussklausur weniger als 50% der bei der Klausur maximal erreichbaren Punkte geschafft.
d
:
Studierender
X
hat zumindest 60% der Hausübungsbeispiele abgegeben.
X
7. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die Umgangssprache und bestimmen Sie den Wahrheitsgehalt.
8
b) 8
c) 8
d) 9
a)
x
x
a
a
2R
^
, 6
2R
_
,
2 R8 2 R 9 2 R
^
2 R 8 2 R9 2 R
: ((x
>
2)
(x
<
1)
(x =
x))
: ((x
>
1)
(x
<
2)
(x =
x))
:(
b
:
b
: ((x
x
> a)
(x
< b))
: x2 + ax + b = 0
x
,
(a
< b))
8. Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die Umgangssprache und bilden Sie formal und umgangssprachlich die Negation.
8 2 R9 2 R
b) 9 2 N 8 2 N8 2 N
a)
x
p
:
y
:
q
xy
r
=1
:
p
=
qr
)
(q =
p
_
q
= 1)
2
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 3, bis zum 23.3.2012
9. Es sei M eine Menge mit 6 Elementen, N eine Menge mit 11 Elementen und P eine mit 8 Elementen.
Welche Anzahl an Elementen ist möglich für M [ N , M \ P , (M [ P ) \ N ? Begründen Sie Ihre
Behauptungen.
10. Es sei
X
eine Menge und es seien
A; B; C
[
\
\ )c = c [ c,
\( [ )=( \ )[( \
[( \ )=( [ )\( [
a)
(A
c
B) =
c
A
c
B ,
b)
(A
B
A
B
c)
A
B
C
A
B
A
C)
d)
A
B
C
A
B
A
C)
Teilmengen von
X
. Zeigen Sie:
,
.
11. Es seien A und B Mengen mit jeweils mehr als zwei Elementen. Mit A2 bezeichnen wir die Menge
aller 2-elementigen Teilmengen der Menge A. Untersuchen Sie welche der folgenden Aussagen wahr
sind:
a) A[B A [ B , A[B A [ B , A[B = A [ B ,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b) A\2 B A2 \ B2 , A\2 B A2 \ B2 , A\2 B = A2 \ B2 .
12. Es sei
X
eine Menge und es seien
A; B
Teilmengen von
a) Geben Sie alle Elemente der Mengen
und
a
2
X
.
P (P (;)) und P (P (f g)) an.
a
P ( ) [ P ( ) = P ( [ )? Geben Sie eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an.
Gilt für auch P ( ) P ( )? Geben Sie eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an.
b) Gilt
c)
X
A
A
B
B
A
A
B
B
3
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 4, bis zum 30.3.2012
13. In der Menge der ganzen Zahlen
Z=f
2
1 0 1 2
g definieren wir
j :, 9 2 Z : =
:::;
;
n m
;
;
k
;
;:::
m
kn:
N die Menge der natürlichen Zahlen und es seien die Mengen = f 2 N : 2j g und
= f 2 Z : 3j g gegeben.
a) Zeigen Sie [
f 2 Z [ N : 2 j _ 3j g.
b) Geben Sie eine Aussageform ( ) an, so dass [ = f 2 Z : ( )g gilt.
Sei
eine Menge und
. Die symmetrische Differenz von und ist definiert durch
4 := ( n ) [ ( n ). Zeigen Sie:
a) 4 = ( [ ) \ ( \ )c (mit ( \ )c = n ( \ )),
b) \ ( 4 ) = ( \ )4( \ ),
c) 4 = ;,
d) ;4 = .
a) Es seien
2 Z. Ist der Rest der Division von durch und gilt teilt und teilt ,
Ferner sei
B
A
n
B
m
m
m
P n
X
A
A; B
B
A
A
A
B
C
B
A
B
n
P n
X
A
B
A
B
A
A
B
B
A
A
B
X
A
B
C
A
A
15.
B
B
A
A
n
n
A
14.
n
A
a; b; c; r
dann teilt
b) Es seien
b 1 n1
c
auch r.
a; b1 ; b2 ; n1 ; n2
+ b2 n2 .
r
2 Z. Ist
a
a
ein Teiler von
4
n1
b
und von
c
n2
, dann ist
a
a
c
b
ein Teiler von
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 5, bis zum 27.4.2012
16.
a) Zeigen Sie: Ist
n
2 N gerade, dann ist vier ein Teiler von 2
.
n
b) Zwei Primzahlen p1 ; p2 heißen Primzahlzwillinge wenn p2 p1 = 2. Zeigen Sie, dass die Summe
zweier Primzahlzwillinge p1 ; p2 3 immer durch vier teilbar ist (Hinweis: Schreiben Sie p2 =
p1 + 2).
17.
a) Es seien
A; B; C
Mengen. Zeigen Sie:
A
( [
B
C)
= (A
b) Untersuchen Sie ob für alle beliebigen Mengen
(A
B)
[( C
D)
erfüllt ist.
5
B)
[( A
A; B; C; D
= (A
[
C)
C ):
die Mengengleichheit
( [
B
D)
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 6, bis zum 4.5.2012
18. Geben Sie für die reellen Zahlen a und b einen direkten Beweis und einen Beweis durch Widerspruch
der folgenden Aussage:
Gilt
a < b
und
0
< ab
19. Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch
Es seien a; b 2 R n f0g. Zeigen Sie:
a
b
20. Zeigen Sie:
a) Für
a; b
2 R mit
a; b >
0 gilt
p
b) Folgern Sie daraus, dass jedes
ab
x
+
a+2 b .
2 R mit
j j=
x
b
a
x >
6
dann ist
2
x
falls
1
b
x
<
1
a
:
0 und j j =
x
x
falls
:
0 die Ungleichung + x1 2 erfüllt.
x
x <
0.
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 7, bis zum 25.5.2012
21. Es sei f : N ! N definiert durch f (n) = k 2 N [ f0g für 2(k 1) < n < 2(k + 1). Untersuchen Sie,
ob f eine Funktion ist. Geben Sie gegebenfalls eine Menge A N an, so dass f jA eine Funktion ist.
A eine nichtleere Menge.
Es sei f : A ! A. Zeigen Sie: Wenn für alle Abbildungen g : A ! A gilt f g = g f , dann ist
f = idA .
Es sei h : A ! A eine konstante Abbildung. Untersuchen und beweisen Sie für welche Abbildungen p : A ! A die Eigenschaft h p = p h erfüllt ist.
22. Es sei
a)
b)
eine nichtleere Mengen und x0 2 X . Untersuchen Sie die Funktion ' : P (X )
A 7! A4 fx0 g hinsichtlich der Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
23. Es sei
X
24. Es seien
a)
b)
c)
X
ud
Y
nichtleere Mengen,
f (f 1 (B )) B ,
f (X ) n f (A) f (X n A),
f 1 (Y n B ) = X n f 1 (B ).
f: X ! Y
eine Funktion und
A; B; C nichtleere Mengen sowie f : A ! B und g : B ! C
Ist g f injektiv, dann ist f injektiv.
Ist g f injektiv und f surjektiv, dann ist g injektiv.
Sind f und g surjektiv, dann ist g f surjektiv.
Ist g f surjektiv, dann ist g surjektiv.
Ist g f surjektiv und g injektiv, dann ist f surjektiv.
25. Es seien
a)
b)
c)
d)
e)
26. Seien X und Y nichtleere Mengen und
Aussagen äquivalent sind:
a)
b)
f
f
f: X ! Y
! P (X ),
A X , B Y . Zeigen Sie:
Funktionen. Zeigen Sie:
eine Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden
ist surjektiv,
hat eine Rechtsinverse,
h1 ; h2 : Y ! Y gilt: h1 f = h2 f ) h1 = h2 .
Behauptung, dass f eine Rechtsinverse besitzt falls f surjektiv
c) für alle
Die
entnehmen.
7
ist, können Sie der Vorlesung
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 8, bis zum 1.6.2012
27. Auf der Menge
N sei j definiert durch
xjy , x ist ein Teiler von y:
Zeigen Sie, dass j auf N eine Ordnungsrelation mit kleinstem Element 1 ist. Betrachten Sie dann die
Menge M := fn 2 N : 2 n 31g. Bestimmen Sie das Minimum, das Maximum bzw. minimale oder
maximale Elemente von M bzgl j.
28. Ermitteln Sie, falls vorhanden, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der Teilmenge
A=
29. Es sei M
1
2
m
+
1
n
:
n; m 2 N
R R) n f(0; 0)g. Für (a; b); (c; d) 2 M
=(
(a; b)
(c; d) ,
31.
definieren wir:
es exisitiert ein 2 R n f0g so dass c = a und d = b:
ist eine Äquivalenzrelation auf M M . Ist antisymmetrisch?
Es sei M := f1; 2; 3; 4; 5; 6g und es sei R1 := f1; 2g, R2 := f3; 4; 6g und R3 := f5g. Bestimmen Sie
eine Äquivalenzrelation auf M , so dass M= = fR1 ; R2 ; R3 g.
Es sei R eine Relation auf X und S eine Relation auf Y . Wir definieren eine Relation R S auf der
Menge X Y durch
(x; y )(R S )(u; v ) :, (xRu) ^ (ySv )
fr̈ (x; y ); (u; v ) 2 X Y . Zeigen Sie, dass R S eine Äquivalenzrelation auf X Y ist, falls R bzw.
Zeigen Sie
30.
R:
S Äquivalenzrelationen auf X bzw. Y sind.
8
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 9, bis zum 15.6.2012
32. Es seien
a; b
2 R. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle 2 N gilt:
n
n
X
(a + kb) = n
a +
n+1
2
k=1
33. Es seien
x1 ; : : : ; x n
2 R, n
2
, wobei alle
xi
b
:
(1 i n) strikt positiv sind. Dann gilt:
(1 + x1 )(1 + x2 ) : : : (1 + xn ) > 1 + x1 + x2 + : : : + xn :
34. Zeigen Sie, dass für alle
n
2 N die Ungleichung
1
n +1
1
3
5
2
4
6
2n
p
1
2n
1
3n + 1
gilt.
35. Wir nennen eine Funktion formal differenzierbar, falls wir die Ableitung dieser bilden können. Für
zwei formal differenzierbare Funktionen g und h gilt bekanntlich dass gh eine formal differenzierbare
Funktion ist und (gh)0 = g 0 h + gh0 . Zeigen Sie, dass für jedes n 2 N gilt
a)
f1 f2
b)
(f1 f2
fn
ist formal differenzierbar,
0
0
fn ) = f1 f2
0
fn + f1 f2 f3
für formal differenzierbare Funktionen
36. Es sei
a)
b)
c)
n
fn + : : : + f1 f2
f1 ; : : : ; f n
0
fn
.
2 N. Beweisen Sie:
Pn 2 n(n+1)(2n+1)
,
k=1 k =
6
Pn 3 n2 (n+1)2 Pn
2
= (
k=1 k =
k=1 k) ,
4
P2 n
Pn 1
k+1 1
=
k=1 ( 1)
k=1 n+k .
k
Pn
Berechnen Sie die Summen
37. Zeigen Sie:
a) Für alle
b) für alle
c) für alle
2 N gilt
2 N gilt
gilt
n
n
n
q
q
n
n
k=1 (2k
> n
falls
q
2
falls
q
> n
n
n! > 2
4
und
1)
Pn
k=1 (2k
2
+ F (2)
39. Es sei die Folge (an ) rekursiv durch
dass für alle n 2 N gilt:
,
,
3
2
n
2
gilt:
2
,
a1 = 0
2k
1
=
9
= F (n)F (n + 1):
und
a2 = 4
n
Y
2k
k=1
2N
+ : : : + F (n)
an = (n
.
.
F (1)
n
2
2
38. Zeigen Sie: Die Fibonacci Zahlen erfüllen für alle
40. Zeigen Sie, dass für
1)
an+2 = 4an+1
n
1)2 :
1
2
2n
!
2n
n
:
4an
definiert. Zeigen Sie,
Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 10, bis zum 22.6.2012
;. Zeigen Sie, dass [ ebenfalls endlich ist.
42. Es seien
Mengen mit \
\ ;, es seien ! und ! bijektive
Abbildungen. Zeigen Sie, dass die Abbildung
[ ! [ , definiert durch
8
<
wenn 2
:
wenn 2
41. Es seien A; B endliche nichtleere Mengen mit A
0
A; A ; B; B
0
A
B
=
A
0
B
h
h(x)
:=
\
:
B
0
=
A
=
A
f
B
A
0
B
f ( x)
x
A;
g ( x)
x
B
:
A
B
B
g
:
0
A
B
0
0
wohldefiniert und bijektiv ist.
43. Beweisen Sie durch Nachweis der Bijektivität einer geeigneten Funktion, dass die Menge
q
Z abzählbar unendlich ist.
2 g
C
=
f
q
2 :
44. Es sei A eine abzählbar unendliche Menge und E eine endliche Menge. Zeigen Sie, durch Konstruktion
einer bijektiven Abbildung, dass A E abzählbar unendlich ist.
2
[
45. Es ei n
N. Zeigen Sie, dass keine injektive Funktion
Folgern Sie daraus, dass die Menge N unendlich ist.
10
f
:
f
1; : : : ; n + 1
g!f
1; : : : ; n
g existiert.