Grundbegriffe

U. Rausch, 2010
Grundbegriffe
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Grundbegriffe
Logische Symbole und die Mengenschreibweise helfen, mathematische Sachverhalte knapp und
präzise auszudrücken. Ein wenig davon wird auch gelegentlich in den Lektionen des Brückenkurses verwendet, und dies soll hier kurz erklärt werden.
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Logische Symbole
1.1
Aussagen
Unter einer Aussage verstehen wir ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder
falsch ist – dabei schadet es nichts, wenn wir im Augenblick nicht wissen, was davon zutrifft;
wichtig ist allein, daß prinzipiell nur diese beiden Möglichkeiten bestehen.
Über eine wahre Aussage sagt man auch, daß sie gilt oder zutrifft.
Beispiele für Aussagen sind Es regnet.“, 1 = 2“, x = 3“.
”
”
”
Keine Aussagen in diesem Sinne sind Wie bitte?“, Verdammt!“, 42“, x + 2“.
”
”
”
”
Mit Hilfe logischer Symbole kann man Aussagen miteinander verknüpfen und damit neue Aussagen bilden. Wir brauchen hier nur zwei davon:
1.2
Implikation
Es seien A und B irgendwelche Aussagen. Dann bedeutet
A ⇒ B
die Aussage Aus A folgt B“. Andere Ausdrucksweisen dafür sind
”
. Wenn A gilt, dann gilt auch B.
. A ist eine hinreichende Bedingung für B.
. B ist eine notwendige Bedingung für A.
. A impliziert B.
Als Aussage ist A ⇒ B“ selbst wieder entweder wahr oder falsch. Beispiele für wahre Implika”
tionen sind
1.
Es regnet.
⇒
Die Straße ist naß.
2.
x=3
⇒
x+2=5
3.
x=3
⇒
x2 = 9
4.
1=2
⇒
17 = 25
Das vierte Beispiel wirkt etwas seltsam. Es beruht darauf, daß eine Implikation A ⇒ B“
”
definitionsgemäß immer dann wahr ist, wenn A (die Voraussetzung oder Prämisse) falsch
ist – ganz egal, was B für eine Aussage ist. Kurz gesagt: Aus einer falschen Voraussetzung kann
man alles folgern. Dies mag ungewohnt erscheinen, aber bei genauer Betrachtung hat es schon
seinen Sinn. Versuchen Sie beispielsweise einmal, die in Beispiel 4 gemachte Aussage streng
logisch zu widerlegen!
U. Rausch, 2010
1.3
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2
Äquivalenz
Aus der Gültigkeit von A ⇒ B“ kann man in der Regel nicht schließen, daß auch die Umkeh”
rung B ⇒ A“ gilt. In den obigen vier Beispielen sind nur die zweite und – aus dem genannten
”
Grund – die vierte Implikation umkehrbar. Dagegen könnte die Straße auch auf andere Weise
naßgeworden sein, und x2 = 9 gilt auch für x = −3.
Sind zwei Aussagen A und B so beschaffen, daß sowohl A ⇒ B“ als auch B ⇒ A“ gilt, so
”
”
nennt man sie äquivalent und schreibt
A ⇔ B.
Andere Ausdrucksweisen für diesen Sachverhalt sind
. A gilt dann und nur dann, wenn B gilt.
. A gilt genau dann, wenn B gilt.
. A ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für B.
2
Mengen
2.1
Mengen und Elemente
In einer Menge werden Objekte zu einem neuen Ganzen zusammengefaßt. Die besagten Objekte
heißen die Elemente der Menge.
Die Schreibweisen seien hier nur an Beispielen erläutert:
2.2
. M = {1, 2, 5, 9}
bedeutet:
M ist die Menge mit den Elementen 1, 2, 5 und 9.
.
2∈M
bedeutet:
Die Zahl 2 ist ein Element der Menge M .
.
7 6∈ M
bedeutet:
Die Zahl 7 ist kein Element der Menge M .
Spezielle Zahlenmengen
. N := { 1, 2, 3, 4, . . .} :
die Menge der natürlichen Zahlen;
. N0 := { 0, 1, 2, 3, 4, . . .} :
die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen;
. Z := {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} :
die Menge der ganzen Zahlen;
. Q:
die Menge der rationalen Zahlen,
also der Zahlen, die sich als Brüche aus ganzen Zahlen darstellen lassen;
. R:
die Menge der reellen Zahlen.
x ∈ R“ bedeutet also einfach, daß x eine reelle Zahl ist.
”
2.3
Mengenoperationen
dienen dazu, Mengen miteinander zu verknüpfen und daraus neue Mengen zu bilden.
Wir benötigen hier nur die Mengendifferenz, um gegebenenfalls gewisse Ausnahmewerte einfach
kennzeichnen zu können.
Es seien M und N irgendwelche Mengen. Dann bezeichnet
M \N
die Differenzmenge von M und N ; das ist die Menge aller Elemente, die in M , aber nicht in
N enthalten sind. Beispiele:
U. Rausch, 2010
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1.
x ∈ R \ {−1, 0, 4}
bedeutet:
x ist irgendeine reelle Zahl,
aber verschieden von −1, 0 und 4.
2.
x∈Q\Z
bedeutet:
x ist eine nicht-ganze rationale Zahl.
3.
x∈R\Q
bedeutet:
x ist reell, aber nicht rational.
(Solche Zahlen nennt man irrational .)
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