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Kapitel 5
Stetigkeit
Inhalt
5.1 Funktionen
5.2 Stetigkeit: Die Definition
5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften
5.4 Die Exponentialfunktion
Kapitel 5: Stetigkeit
© Beutelspacher
Juni 2005
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5.1 Funktionen
Definition. Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Wir nennen die
Menge aller reellen Zahlen x mit a  x  b das abgeschlossene
Intervall mit den Endpunkten a und b und bezeichnen dieses mit
[a, b]. Formal ausgedrückt:
[a, b] = {x  R  a  x  b}.
Das offene Intervall mit den Endpunkten a und b ist die Menge
(a, b) := {x  R  a < x < b}.
Entsprechend definiert man die halboffenen Intervalle (a, b] und
[a, b).
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Unendlich große Intervalle
Ferner definiert man:
[a, ) := {x  R  a  x},
(a, ) := {x  R  a < x},
(–, b] := {x  R  x  b},
(–, b) := {x  R  x < b}.
Schließlich bezeichnet man auch R (= (–, ) ) als Intervall.
Beispiele. Abgesehen von R wird [0, 1] das Intervall sein, das wir
am häufigsten betrachten.
(0, ) sind die positiven reellen Zahlen und [0, ) sind die
nichtnegativen reellen Zahlen.
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Funktionen
Definition. Eine Funktion ist eine Abbildung von einem Intervall
nach R (Bildbereich ist R). Meist werden wir sogar nur Funktionen
von R nach R betrachten. Wenn f eine Funktion ist, schreiben wir
f(x) für das Bild der Zahl x.
Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte (x, f(x)) mit
x  R.
Beispiele. f(x) = a, f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = 1/x3, f(x) = x.
Bemerkung: Jede senkrechte Gerade schneidet den Graph einer
Funktion in höchstens einem Punkt. Jede senkrechte Gerade durch
einen Punkt des Definitionsbereichs schneidet den Graph genau
einmal.
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Wie kann eine Funktion gegeben sein?
Möglichkeit 1: Durch eine Formel.
Beispiele: f(x) = x2.
Allgemein f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0; dies nennt man
ein Polynom (n-ten Grades).
f(x) = (x4+7x2+20x+8)/(x2+1) .
Achtung! Bei gebrochen rationalen Funktionen muss der Nenner
immer verschieden von Null sein!
Das ist die häufigste Art, die uns begegnen wird, aber damit kann
man nur einen kleinen Prozentsatz aller Funktionen beschreiben!
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Wier kann eine Funktion gegeben sein? II
Möglichkeit 1‘: Durch mehrere Formeln
Beispiele:
f(x) = x2 – 3x + 7, falls x < 0,
f(x) = 10.000, falls x = 0,
f(x) = x17 + 200, falls x > 0.
oder:
f(x) = 1, falls x rational
f(x) = 0, falls x irrational.
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Wie kann eine Funktion gegeben sein? III
Möglichkeit 2: Durch eine Wertetabelle.
Das sind endlich viele Werte (x, f(x)).
Man kann damit nur die Funktionen beschreiben, die durch eine
Wertetabelle eindeutig festgelegt sind (z.B. Polynome).
Möglichkeit 3: Durch ein Orakel.
Sie fragen x, das Orakel antwortet mit f(x).
Gegenüber einer Wertetabelle hat dies den Vorteil, dass Sie die x
vorgeben können, und dass Sie so viele f(x) erfragen können, wie
Sie wollen.
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4.2 Stetigkeit: Die Definition
Stetig bedeutet unterbrechungslos (englisch: continuous).
Unterbrechungslose Vorgänge sind das Normale. (Das lateinische
Sprichwort dazu heißt: Natura non facit saltus, die Natur macht keine
Sprünge).
Uns prägen sich aber hauptsächlich Ereignisse ein, die durch eine
Unstetigkeit gekennzeichnet sind. Besonders eindrücklich sind
Ereignisse, nach denen es ganz anders ist als zuvor. („Es wird nie
mehr so sein wie vorher.“)
Beispiele: Durchbrechen eines Stockes, Zerbrechen einer Vase,
Eintritt in die Schule, Geburt eines Kindes, Fall der Berliner Mauer,
Tod, ...
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Beschreibungen von Stetigkeit
Sei f eine Funktion. Wir werden und der Definition der Stetigkeit
schrittweise nähern.
1. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne
abzusetzen zeichnen kann.
2. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprünge
macht.
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Motivation der Definition
3. Beschreibung: Wir definieren (zunächst) nur, was es heißt, dass
eine Funktion f „in einem Punkt“ stetig ist. Sei also x0 eine reelle
Zahl aus dem Definitionsbereich von f.
Wir lassen x gegen x0 laufen und betrachten die zugehörigen
Funktionswerte f(x).
Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn) reeller Zahlen, die
gegen x0 konvergiert. (Es gibt viele solche Folgen!)
Dazu betrachten wir jetzt die zugehörigen Funktionswerte f(xn), also
f(x1), f(x2), f(x3), ... Das ist auch eine Folge reeller Zahlen. Wenn
diese gegen f(x0) konvergiert, dann ist f stetig in x0.
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Die Definition
Definition. Sei f eine Funktion, und sei x0 ein Element des
Definitionsbereichs. Wir sagen, dass die Funktion f stetig im
Punkt x0 ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(a) Für jede Folge (xn), die gegen x0 konvergiert (wobei die xn aus
dem Definitionsbereich von f sein sollen) konvergiert auch die
Folge (f(xn)).
(b) Alle Grenzwerte der Folgen (f(xn)), die in (a) auftreten sind gleich
f(x0).
Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres
Definitionsbereichs stetig ist.
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Was heißt „nicht stetig“?
Um nachzuweisen, dass f nicht stetig im Punkt x0 ist, hat man zwei
Möglichkeiten:
Die Funktion f ist nicht stetig im Punkt x0, wenn mindestens eine
der beiden folgenden Bedingungen gilt:
(a) es gibt mindestens eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert
(wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sein sollen), für die
die Folge (f(xn)) der Funktionswerte nicht konvergiert.
(b) Es gibt eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert, so dass die
zugehörige Folge (f(xn)) zwar konvergiert aber einen Grenzwert
verschieden von f(x0) hat.
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Beispiele stetiger Funktionen
(a) Konstante Funktion f(x) = a.
(b) f(x) = x.
(c) f(x) = x2 ist stetig im Punkt x0 = 0.
Denn: Sei (xn) eine Folge mit Grenzwert 0. Dann gibt es für alle
e > 0 eine Nummer N, so dass xn = xn–0 < e ist für alle n  N.
Dann gilt auch
f(xn) – f(x0) = xn2–0 = xn2 < e2 < e
für alle n  N. Also konvergiert auch die Folge der Funktionswerte
gegen den Grenzwert 0 = f(x0). Somit ist f stetig im Punkt x0 = 0.
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Beispiele
(d) Die Funktion, die definiert ist durch
f(x) = 0 für x < 0 und
f(x) = 1 für x  0
ist nicht stetig im Punkt x0 = 0.
(d) Die Funktion f, die definiert ist durch f(x) = x, ist auch im Punkt
x0 = 0 stetig.
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5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften
Ziel: Aus einer oder zwei stetigen Funktionen entsteht eine neue
stetige Funktion.
Definition. Die Summe zweier Funktionen f und g ist definiert als.
(f+g)(x) := f(x) + g(x) für alle x.
Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x) =
x2 + 2, so ist f+g die Funktion, die jedes x auf x3+x2+2 abbildet.
5.3.1 Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind,
dann ist auch f+g eine stetige Funktion.
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Beweis
Beweis. Wir müssen zeigen, dass f+g in jedem beliebigen Punkt x0
stetig ist.
Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn), die gegen x0
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge mit den
Folgengliedern (f+g)(xn) gegen (f+g)(x0) konvergiert.
Dazu sei e > 0 beliebig.
Trick: Setze e* := e/2.
Da f stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer N, so dass
f(x0)–f(xn) < e* ist für alle n  N.
Da g stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer M, so dass
g(x0)–g(xn) < e* ist für alle n  M.
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Beweisabschluss
Sei N die größere der beiden zahlen N und M.
Dann gilt für alle n  N:
f(x0)–f(xn) < e* und g(x0)–g(xn) < e* für alle n  N.
Daraus folgt
(f+g)(x0)–(f+g)(xn) = f(x0)+g(x0) – f(xn)–g(xn) =
f(x0)–f(xn) + g(x0)–g(xn) < e* + e* = e.
Also konvergiert die Folge aus den Gliedern (f+g)(xn) gegen
(f+g)(x0).
Somit ist f+g stetig im Punkt x0. 
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Produkt mit einer reellen Zahl
Definition. Sei f eine Funktion, und sei r eine reelle Zahl. Wir
definieren das Produkt rf von r mit f durch
(rf)(x) .= rf(x) für alle x
Beispiel: Wenn f definiert ist durch f(x) = x3, so ist 7f die Funktion,
die jedes x auf 7x3 abbildet.
5.3.2 Satz. Sei f eine Funktion und r eine reelle Zahl. Wenn f
stetig ist, dann ist auch rf eine stetige Funktion.
Beweis. ÜA
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Produkt und Quotient von Funktionen
Definition. Seien f und g Funktionen. Wir definieren das Produkt
fg und den Quotienten f/g der Funktionen f und g durch
(fg)(x) .= f(x)g(x) und (f/g)(x) = f(x)/g(x) für alle x.
Bemerkung: Um den Quotienten f/g definieren zu können, muss
g(x)  0 sein für alle x.
Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x)
= x+2, so ist fg die Funktion, die jedes x auf x3(x +2) abbildet.
5.3.3 Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind,
dann sind auch fg und f/g eine stetige Funktionen.
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Polynome sind stetig
5.3.4 Folgerung. Jedes Polynom f(x) = anxn +an–1xn–1 + ...+ a1x + a0
ist eine stetige Funktion.
Beweis. Da die Funktion x  x stetig ist, ist auch das n-fache
Produkt dieser Funktion, also die Funktion x  xn stetig. Also ist
auch die Funktion x  anxn stetig. Da Summen stetiger Funktionen
stetig sind, ist also auch das Polynom f stetig. 
Bemerkung. Die Polynome sind mit die wichtigsten stetigen
Funktionen, aber es gibt auch andere, z.B. die Sinusfunktion, die
Funktion x  x, die Exponentialfunktion usw.
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5.4 Die Exponentialfunktion
Definition. Für jedes x  R definieren wir die Exponentialreihe

Beispiel: exp(0) = 1.
xn
exp(x)   .
n  0 n!
5.4.1 Satz. Für jedes x  R konvergiert die Exponentialreihe.
Beweis. Wir wenden das Quotientenkriterium an. Sei x fest. Wir
wählen n  2x. Dann gilt
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x n 1
x
1
(n  1)!


.
n
x
n 1 2
n!
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Die Zahl e
Definition. Wir definieren e := exp(1). (Eulersche Zahl)
Es gilt: e = 2,718281828459…
e ist eine irrationale (sogar eine transzendente) Zahl.
Üblicherweise schreibt man auch exp(x) = ex. Man nennt diese
Funktion die Exponentialfunktion.
Bemerkung: Die Zahl e kann auch als Grenzwert der Folge
(1 + 1/n)n aufgefasst werden.
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Eigenschaften der Exponentialfunktion
5.4.2 Satz. Für alle x und y gilt exp(x + y) = exp(x)exp(y).
Man nennt dies die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
5.4.3 Folgerung. (a) exp(–x) = (exp(x))–1.
(b) exp(x) > 0 für alle x.
Beweis. (a) exp(x)exp(–x) = exp(x–x) = exp(0) = 1. Daraus folgt
exp(x)  0 und exp(–x) = 1 / exp(x).
(b) Für x  0 ist exp(x) = 1 + x + x2 / 2 + …  1.
Für x < 0 ist –x > 0, also exp(–x) > 0, also
exp(x) = 1 / exp(–x) > 0. 
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