Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

TU Dortmund
Mathematik Fakultät
Proseminar zur Linearen Algebra
Ausarbeitung zum Thema
Topologische Räume und stetige Abbildungen
Teil 2
Anna Kwasniok
Dozent:
Prof. Dr. L. Schwachhöfer
Vorstellung des Themas: 05.11.2013
Inhaltsverzeichnis
1 Umgebungen
1.1 Abzählbarkeitsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Definition: Abzählbarkeitsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Beispiele zu den Abzählbarkeitsaxiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Definitionen: Inneres, Randpunkt, Berührpunkt, Abschluss, dicht, nirgends
dicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Das Cantorsche Diskontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Stetige Abbildungen
2.1 Definition: Stetige Abbildungen . . . .
2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Satz: Komposition von Abbildungen . .
2.4 Definition: Gröber und feiner . . . . .
2.5 Definition: Stetigkeit in einem Punkt .
2.6 Satz: Stetigkeit und Stetigkeit in jedem
2.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Definition: Homöomorphismus . . . . .
2.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Punkt
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
.
.
.
.
4
5
7
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
13
1 Umgebungen
1.1 Abzählbarkeitsaxiome
Es gibt im mathematischen Teilgebiet der Topologie zwei Abzählbarkeitsaxiome. Felix
Hausdorff führte die Abzählbarkeitaxiome im Jahre 1914 ein.
Definition: Basis
Ein System B von offenen Mengen eines topologischen Raumes (X, O) heißt Basis der
Topologie, wenn jede offene Menge von (X, O) Vereinigung von Mengen aus B ist, d.h.
zu jedem x ∈ O ∈ O gibt es ein B ∈ B mit x ∈ B ⊂ O.
1.2 Definition: Abzählbarkeitsaxiome
(a) Erstes Abzählbarkeitsaxiom:
Für jedes x ∈ X gibt es offene Mengen {Bn |n ∈ N, x ∈ Bn }, so dass für jede offene
Menge O, die x enthält, gilt: x ∈ Bn ⊂ O für mindestens ein n.
(b) Zweites Abzählbarkeitsaxiom:
Der topologische Raum (X, O) genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom, wenn O
eine abzählbare Basis besitzt.
1.3 Beispiele zu den Abzählbarkeitsaxiomen
Definition: diskreter topologischer Raum
Bei der diskreten Topologie auf einer Menge X ist Odis die Potenzmenge von X, d.h. die
Menge aller Teilmengen von X und (X, O) heißt diskreter topologischer Raum.
(a) Alle diskreten Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom.
Erläuterung:
Für x ∈ X wähle B1 = B2 = ... = Bn = {x}. Also gilt für jedes O offen mit x ∈ O:
x ∈ Bn ⊂ O für mindestens ein n.
Definition von Offenheit in metrischen Räumen:
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge O von x offen, falls gilt:
∀x ∈ O : ∃ > 0 : B (x) ⊂ O.
3
(b) Alle metrischen Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom.
Erläuterung:
x ∈ X und Bn = B 1 (x) ist die Kugel vom Radius n1 .
n
√
√
x ∈ Bn und Bn offen .
O offen, x ∈ O. Nach der Definition von Offenheit in metrischen Räumen
Gibt es ein > 0 mit B (x) ⊂ O, dann wähle nun n ∈ N so, dass n1 < ist.
Daraus folgt: x ∈ Bn = B 1 (x) ⊂ B (x) ⊂ O.
n
Definition: indiskrete Topologie
Die indiskrete Topologie auf X besteht lediglich aus zwei offenen Mengen, nämlich Oind =
{∅, X}
(c) Die indiskrete Topologie erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, da die Menge {X}
die einzige Basis von X und als einelementige Menge abzählbar ist.
So gilt x ∈ B ⊂ O. Ist O offen und x ∈ O, daraus folgt, dass O 6= ∅ und daher
O = X, x ∈ X ⊂ X.
(d) Der Rn erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom mit B = {B 1 (q)|q ∈ Qn , m ∈ N}.
m
Erläuterung:
Sei O ⊂ Rn offen, x ∈ O.
Zu zeigen: Es gibt ein q ∈ Qn , m ∈ N, so dass x ∈ B 1 (q) ⊂ O.
m
x ∈ O ⇒ ∃ > 0, B (x) ⊂ O.
Sei m ∈ N, so dass m1 < 2 , dann gilt: Es gibt ein q ∈ Qn mit d(x, q) <
Zu zeigen: B 1 (q) ⊂ B (x)
m
y ∈ B 1 (q) ⇒ d(y, q) < m1
m
d(x, y) ≤ d(x, q) + d(q, y) < ⇒ y ∈ B (x)
d(x, q) <
1
m
⇒ x ∈ B 1 (q)
mit d(x, q), d(q, y) <
1
m
<
1
.
m
2
√
m
Es wurde gezeigt: ∃q ∈ Qn, m ∈ N, x ∈ B 1 (q) ⊂ B (x) ⊂ O
m
1.4 Definitionen: Inneres, Randpunkt, Berührpunkt,
Abschluss, dicht, nirgends dicht
Sei (X, O) ein topologischer Raum und A ⊂ X.
4
(a) Ein Punkt x ∈ X heißt innerer Punkt von A, wenn A eine Umgebung von x ist.
Die Menge aller inneren Punkte von A wird das Innere von A genannt und mit Å
bezeichnet.
(b) Ein Punkt x ∈ X heißt Randpunkt von A, wenn jede Umgebung von x sowohl A
wie auch das Komplement von A schneidet, d.h. für U ∈ U (x) gilt
T
T
U A 6= ∅ =
6 U (X \ A). Die Menge der Randpunkte von A heißt der Rand von
A und wird mit Ȧ oder δA bezeichnet. Liegt ein Randpunkt von A nicht in A, so
spricht man auch oft von Berührpunkt.
T
(c) Die Menge {x ∈ X|U A 6= ∅ für jede Umgebung U (x)} heißt abgeschlossene Hülle
oder Abschluss von A; sie wird mit Ā bezeichnet.
(d) A liegt dicht in X, wenn Ā = X.
Ist das Innere des Abschlusses von A leer, also (Ā)◦ = ∅, so heißt A nirgends dicht
in X.
Die Mengen Ā, Ȧ und Å lassen sich auch wie folgt charakterisieren:
1.5 Satz
Ist (X, O) ein topologischer Raum und F das System seiner abgeschlossenen Mengen, so
gilt für A ⊂ X:
(a) Ā ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält und es gilt Ā =
(b) Å ist die größte offene Menge, die in A enthalten ist und es ist Å =
S
T
A⊂F ∈F
A⊃O∈O
F
O
(c) Für den Rand gilt: Ȧ = Ā \ Å
Beweis:
T
(a) V = A⊂F ∈F F ist abgeschlossen:
T
S
T
X \ A⊂F ∈F F = A⊂F ∈F (X \ F ) offen, da X \ F offen und somit ist A⊂F ∈F F
abgeschlossen.
Der Abschluss von A ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A enthalten.
⊆”
”
T
Zu zeigen: x ∈ A⊂F ∈F F =: V , falls x ∈ Ā
5
Annahme: x ∈
/ V ⇒x∈X \V
U := X \ V ist Umgebung von x.
T
U A = ∅ , da A ⊂ V
|X \ V offen, da V abgeschlossen
| Widerspruch zur Annahme
⊇”
”
x ∈ F für jedes abgeschlossene F ⊂ X mit A ⊂ F .
T
Annahme: x ∈
/ Ā ⇒ ∃ Umgebung U (x) mit U A = ∅.
Aus der Definition der Umgebung folgt: ∃O ∈ O, x ∈ O ⊂ U . Also folgt insbesonT
dere O A = ∅ und daher A ⊂ X \ O.
X \ O ist aber abgeschlossen, da O offen ist. Also folgt x ∈ X \ O, da x in allen
abgeschlossenen Mengen enthalten ist, die A enthalten. Das steht im Widerspruch
zu x ∈ O.
T
√
Gezeigt: Ā = A⊂F ∈F F
Es folgt daraus, dass Ā abgeschlossen ist.
(b) Das Innere von A ist die Vereinigung aller offenen Mengen, die in A enthalten sind.
⊇”
”
Å = {x ∈ A| ∃ O ⊂ O, x ∈ O und O ⊂ A}.
Sei O eine offene Teilmenge von A und y ∈ O
Daher ist O Umgebung von y. Da O ⊂ A folgt daraus, dass A auch eine Umgebung
von y ist.
√
O offen, O ⊂ A ⇒ O ⊂ Å
⊆”
”
y ∈ Å ⇒ A ist Umgebung von y
S
⇒ ∃ O offen, y ∈ O ⊂ A und y ∈ O ⊆ A⊃O∈O O
√
(c) Der Rand von A ist gleich der Abschluss von A ohne das Innere von A.
⊆”
”
T
T
Sei y ∈ Ȧ. Das heißt: Jede Umgebung U von y erfüllt U A 6= ∅ =
6 U (X \ A).
Zu zeigen ist, dass y ∈ Ā \ Å ist. Das bedeutet: y ∈ Ā und y ∈
/ Å.
T
Falls y ∈
/ Ā, dann gibt es eine Umgebung U von y mit U A = ∅.
√
Das ist ein Widerspruch zu y ∈ Ȧ für jede Umgebung U = A
⊇”
”
Sei y ∈ Ā \ Å. Das bedeutet: y ∈ Ā und y ∈
/ Å.
Zu zeigen: y ∈ Ȧ. Das heißt, dass jede Umgebung U von y folgende Eigenschaft
6
erfüllt: U
T
A 6= ∅ =
6 U
T
(X \ A).
T
Falls U A = ∅ für eine Umgebung U von y ist, dann ist nach Definition y ∈
/ Ā.
T
Das ist ein Widerspruch zu: y ∈ Ā. Somit ist U A 6= ∅.
T
Falls U (X \ A) = ∅, dann ist U ⊆ A.
U ist Umgebung von y, das bedeutet: ∃ O offen, y ∈ O ⊂ U ⊂ A. Daraus folgt, dass
A Umgebung von y ist. So ist y ∈ Å. Das ist ein Widerspruch zu y ∈
/ Å.
T
√
Somit ist U (X \ A) 6= ∅.
1.6 Beispiele
(a) Q liegt dicht in R.
(b) Z ist in R nirgends dicht.
Beweis:
T
(a) Zu zeigen: Für jede Umgebung U von x ∈ R ist U Q 6= ∅.
Sei x ∈ R und U Umgebung von x, das heißt, es existiert > 0 mit (x−, x+) ⊂ U .
T
T
Aber für alle > 0 existiert q ∈ (x − , x + ) Q, also ist Q U 6= ∅.
(b) Zu zeigen: (Z̄)◦ = ∅
S
Z ⊂ R abgeschlossen, da R \ Z = n∈Z (n, n + 1) offen.
Daher ist Z̄ = Z und somit (Z̄)◦ = Z◦ = ∅. Denn für n ∈ Z existiert kein > 0, so
dass (n − , n + ) ⊂ Z ist.
1.7 Das Cantorsche Diskontinuum
Im Jahre 1883 veröffentlichte der deutsche Mathematiker Georg Ferdinand Ludwig Phillip
Cantor eine Definition der sogenannten Cantor-Menge. Diese stellte er bei seinem Versuch auf das Kontinuum zu charakterisieren, einer Menge mit der Mächtigkeit der reellen
Zahlen.
Um die Standard-Cantor-Menge, auch Mitteldrittel-Cantor-Menge genannt, zu konstruieren, starte man mit dem geschlossenen Einheitsintervall [0,1] und entnehme daraus das
offene mittlere Drittel an den Punkten 13 und 23 . Es verbleiben zwei Intervalle, mit denen
man ebenso verfährt. Die beschriebene Aufspaltung setzt man bei allen entstehenden Intervallen fort. Dadurch erhält man eine aufsteigende Kette C 0 ⊃ C 1 ⊃ C 2 ⊃ ... ⊃ C n .
Dabei ist C 0 = [0, 1], C 1 die Vereinigung von dem Intervall [0, 13 ] und [ 23 , 1], C 2 die Vereinigung der Intervalle [0, 91 ], [ 29 , 13 ], [ 23 , 97 ] und [ 89 , 1]. Allgemein ist C n die Vereingung von 2n
7
disjunkten ,abgeschlossen Intervallen, jedes mit der Länge ( 13 )n und die sich von links nach
T
n
rechtes durchnummerieren lassen. Dann heißt C := ∞
n=0 C Cantor’sches Diskontinuum.
Dieses besitzt folgende Eigenschaften:
(a) Das Cantor’sche Diskontinuum ist nicht abzählbar, denn die Mächtigkeit (Anzahl
der Elemente) der Cantor-Menge, ist größer als die der natürlichen Zahlen und wird
deshalb nicht abzählbar genannt.
(b) Das Cantor’sche Diskontinuum ist eine abgeschlossene Teilmenge von R.
Beweis: Nach Definition ist eine abgeschlossene Menge M eine Teilmenge eines topologischen Raumes X, dessen Komplement X \ M eine offene Menge ist. In diesem
Fall ist R der topologische Raum. Die Abgeschlossenheit folgt aus der Tatsache, dass
T T
T
C = C 1 C 2 ... C n Schnittmengen von abgeschlossenen Mengen Cn , n ∈ N ist.
(c) C ist nirgends dicht in [0, 1].
C̄ = C, da C abgeschlossen ist, daher ist C ◦ = ∅:
Für x ∈ C und > 0 schneidet (x−, x+) mindestens eins der entfernten Intervalle.
Dabei ist (x − , x + ) 6⊂ C, das heißt x ist kein innerer Punkt und (C̄)◦ = ∅.
8
2 Stetige Abbildungen
In diesem Abschnitt sollen Abbildungen zwischen topologischen Räumen betrachtet werden. Von besonderem Interesse sind die stetigen Abbildungen. Die Stetigkeit soll die Eigenschaft ausdrücken, dass die Werte einer Abbildung direkt aneinander angrenzen und es
keine abrupten Änderungen gibt. Nimmt man zum Beispiel ein Blatt Papier und zeichnet
eine Kurve darauf, so bedeutet die Stetigkeit der Kurve, dass sie in einem Zug, ohne den
Stift abzusetzen, gezeichnet werden kann. Um diese vage Formulierung zu präzisieren,
muss zuerst geklärt werden, was es beudeutet, dass die Werte einer Abbildung direkt
”
aneinander angrenzen“und sich nicht abrupt ändern“. Anders gesagt, man muss wis”
sen,wann Punkte nah beieinander liegen oder weit entfernt voneinander sind. Man kann
in topologischen Räumen zwar keinen Abstand messen oder berechnen, aber man kann
die Urbilder einer Abbildung dazu nutzen, die Stetigkeit zu definieren:
2.1 Definition: Stetige Abbildungen
Sind (X, O1 ) und (Y, O2 ) topologische Räume, so heißt eine Abbildung f : X → Y stetige
Abbildung von (X, O1 ) nach (Y, O2 ), wenn die Urbilder offener Mengen von (Y, O2 ) offen
in (X, O1 ) sind, d.h.
f : X → Y stetig ⇔ f −1 (O) ∈ O1 ∀O ∈ O2
(2.1)
Durch Übergang zu den Komplementen ergibt sich die äquivalente Definition mittels
abgeschlossener Mengen: f : X → Y ist stetig, wenn die Urbilder abgeschlossener Mengen
von (Y, O2 ) abgeschlossen in (X, O1 ) sind.
Bemerkung: Es wurde in dem Vortrag von Herrn Holzäpfel gezeigt, dass für metrische
Räume diese Definition von Stetigkeit äquivalent zur − δ- Definition ist.
2.2 Beispiele
(a) Ist (X, O1 ) ein diskreter Raum, so ist für jeden topologischen Raum (Y, O2 ) jede Abbildung f : X → Y stetig. Durch diese Eigenschaft lässt sich die diskrete Topologie
auf X kennzeichnen.
(b) Ist (Y, O2 ) ein indiskreter topologischer Raum, so ist für jeden topologischen Raum
(X, O1 ) jede Abbildung f : X → Y stetig. Hierdurch lässt sich die indiskrete Topologie auf Y charakterisieren.
9
Erläuterungen:
(a) X trägt die diskrete Topologie O1 , d.h. alle Teilmengen von X sind offen. Somit
sind die Urbilder offener Mengen offen und f ist stetig.
(b) Trägt Y die indiskrete Topologie O2 , so sind nur ∅ und Y offen. Deren Urbilder sind
∅ und X, also ebenfalls offen und f ist stetig.
2.3 Satz: Komposition von Abbildungen
Sind f : (X, O1 ) → (Y, O2 ) und g : (Y, O2 ) → (Z, O3 ) stetig, so auch
g ◦ f : (X, O1 ) → (Z, O3 ).
Beweis:
Sei U ⊂ Z offen in Z. Wegen der Stetigkeit von g ist dann g −1 (U ) offen in Y . Da f stetig
ist, ist f −1 (g −1 (U )) offen in X, aber f −1 (g −1 (U )) = (g ◦ f )−1 (U ).
Begründung der Gleichheit: f −1 (g −1 (U )) = (g ◦ f )−1 (U )
f : X → Y A ⊆ Y , f −1 (A) = {x ∈ X|f (x) ∈ A} ⊆ X
f : X → Y , g : Y → Z, g ◦ f : X → Z mit A ⊆ Z
(g◦f )−1 (A) = {x ∈ X|(g◦f )(x) ∈ A} ⊆ X
x ∈ (g ◦ f )−1 (A) ⇔ g(f (x)) ∈ A
⇔ f (x) ∈ g −1 (A)
⇔ x ∈ f −1 (g −1 (A))
⇒ x ∈ (g ◦ f )−1 (A) ⇔ x ∈ f −1 (g −1 (A))
|(g◦f )(x) = g(f (x))
Für die Topologien auf einer Menge wird die folgende Ordnung nahegelegt:
2.4 Definition: Gröber und feiner
Sind O1 und O2 Topologien auf X, so heißt O1 feiner als O2 bzw. O2 gröber als O1 , wenn
O2 ⊂ O1 .
Die Topologie O1 ist genau dann feiner als O2 , wenn idX : (X, O1 ) → (X, O2 ) stetig ist.
Die indiskrete, natürliche und diskrete Topologie lassen sich wie folgt ausdrücken:
Oind ⊂ ON ⊂ Odis
(2.2)
Die indiskrete Topologie ist gröber als die natürliche Topologie, diese wiederum gröber
als die diskrete Topologie.
10
Die indiskrete Topologie ist die gröbste Topologie auf X. Sie besteht nur aus der leeren
Menge und aus einer Grundmenge X. Die natürliche Topologie auf R hingegen ist die
Vereinigung von offenen Intervallen. Die diskrete Topologie ist die feinste Topologie auf
X. Sie enthält nämlich alle Teilmengen.
Die Stetigkeit in einem Punkt lässt sich ebenfalls einfach auf Abbildungen zwischen topologischen Räumen übertragen:
2.5 Definition: Stetigkeit in einem Punkt
Eine Abbildung f : (X, O1 ) → (Y, O2 ) heißt stetig in dem Punkt x∈ X, wenn es zu jeder
Umgebung V von f (x) eine Umgebung U von x gibt mit f (U ) ⊂ V .
2.6 Satz: Stetigkeit und Stetigkeit in jedem Punkt
Eine Abbildung f : (X, O1 ) → (Y, O2 ) ist genau dann stetig, wenn sie in jedem Punkt
von X stetig ist.
Beweis:
(1) f stetig ⇒ f stetig in jedem Punkt
Sei V ⊆ Y Umgebung von f (x0 )
(aus der Definition) ⇒ Es gibt O offen in Y mit f (x0 ) ∈ O ⊂ V
(aus der Definition des Urbildes) ⇒ x0 ∈ f −1 (O) ⊂ f −1 (V ) |f −1 (O)offen, da f stetig
(aus der Definition von Umgebung) ⇒ f −1 (V ) ist Umgebung von x0
(2) f stetig in jedem Punkt ⇒ f stetig
Sei V ⊂ O2
z.z.: f −1 (V ) ∈ O1
Sei x0 ∈ f −1 (V ) ⇒ f (x0 ) ∈ V
V offen ⇒ V Umgebung von f (x0 )
(aus der Definition von Stetigkeit in x0 ): Es existiert eine Umgebung U von x0 mit
f (U ) ⊂ V und damit U ⊂ f −1 (V ).
Es existiert O ⊂ X offen mit x0 ∈ O ⊂ U ⊂ f −1 (V ), da U eine Umgebung von x0
ist. Daraus folgt, dass f −1 (V ) ist Umgebung von x0 ist.
Gezeigt ist: f −1 (V ) ist Umgebung jedes seiner Punkte ⇔ f −1 (V ) offen
11
2.7 Beispiel
Sind f, g : X → R stetig in x0 ∈ X, so sind es auch
f + g, f · g, a · f für a ∈ R, max{f, g}, min{f, g}, |f |.
Wenn wir im Folgenden von reellwertigen Funktionen sprechen oder eine Funktion
f : X → R oder f : X → I, I ⊂ R betrachten, ohne über die Topologie des Bildes
R bzw. I etwas zu sagen, trägt R bzw. I die natürliche Topologie.
2.8 Definition
Eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei topologischen Räumen (X, O1 ) und (Y, O2 )
heißt offen bzw. abgeschlossen, wenn das Bild jeder offenen bzw. abgeschlossenen Menge
wieder offen bzw. abgeschlossen ist, d.h.
{f (O)|O ∈ O1 } ⊂ O2
bzw. {f (A)|A ∈ A1 } ⊂ A2 ,
(2.3)
wobei A1 und A2 die Systeme der abgeschlossenen Mengen in X und Y bezeichnen.
Bei stetigen Abbildungen sind die Urbilder von offenen bzw. abgeschlossenen Mengen
wieder offen bzw. abgeschlossen; über die Bilder offener oder abgeschlossener Mengen dagegen lässt sich im allgemeinen gar nichts aussagen. Als Beispiel hierfür diene f : R → R
1
mit f (x) := (1+x
2 ) ; das Bild des Gesamtraumes f (R) =]0, 1] ist im Bildraum R weder
offen noch abgeschlossen.
12
2.9 Definition: Homöomorphismus
Eine bijektive Abbildung f : (X, O1 ) → (Y, O2 ) zwischen zwei topologischen Räumen
heißen topologisch oder Homöomorphismus wenn f und f −1 stetig sind. Die Räume X
und Y heißen dann homöomorph.
2.10 Satz
(a) Eine bijektive Abbildung f : (X, O1 ) → (Y, O2 ) ist genau dann ein Homöomorphismus,
wenn f stetig und offen (oder stetig und abgeschlossen) ist.
(b) Ein Homöomorphismus f : (X, O1 ) → (Y, O2 ) induziert durch O 7→ f (O) eine
Bijektion O1 → O2 .
Beweis:
(a)
√
⇒“
f stetig ist klar
”
Sei O ∈ O1 beliebig
Zu zeigen ist: f (O) ∈ O2
Sei g := f −1
Da g : (Y, O2 ) → (X, O1 ) stetig ist, ist g −1 (O) = f (O) ∈ O2 ∀O ∈ O1
⇐“
”
Sei also f offen und stetig, dann ist noch zu zeigen, dass g := f −1 : (Y, O2 ) → (X, O1 )
stetig ist.
∀O ∈ O1 : g −1 (O) = f (O) ∈ O2 , da f offen ist.
(b) Zu zeigen sind Injektivität und Surjektivität:
1) Seien O und O0 ∈ O1 und f (O) = f (O0 ).
Da f bijektiv ist, folgt daraus O = O0 .
2) Zu zeigen ist, dass es für jedes O ∈ O2 (mindestens ein) Urbild in O1 gibt:
Da f stetig ist, gilt f −1 (O) ∈ O1 ∀O ∈ O2 .
Also gibt es ein Urbild in O1 für jedes O ∈ O2 .
2.11 Beispiel
Sei X das offene Intervall ] − 1, 1[⊂ R. Dann ist
f : (X, O) → R, x →
13
x
,
1 − |x|
(2.4)
ein Homöomorphismus.
Erläuterung:
Bilde Umkehrfunktion:
x
f (x) = y = 1−|x|
⇔ y(1 − |x|) = x
1)x ≥ 0 ⇔ y(1 − x) = x
2)x < 0 ⇔ y(1 + x) = x
Vertauschen von x und y
1) → x(1 − y) = y → x =
2 )→ x(1 + y) = y → x =
f −1 (y) =
y
,
1+|y|
y
1−y
y
1+y
y∈R
⇒ f und f −1 sind stetig.
14