Mittwoch 12.5.2010

Lie Gruppen, SS 2010
Mittwoch 12.05
$Id: topgr.tex,v 1.2 2010/05/26 19:47:48 hk Exp hk $
§3
Topologische Gruppen
Als letztes Beispiel eines topologischen Raums hatten wir die Zariski-Topologie
auf dem Cn betrachtet, in der die abgeschlossenen Mengen genau die algebraischen
Teilmengen des Cn sind. Wir wollen uns diese einmal speziell für n = 1 anschauen.
Da schon ein einzelnes Polynom von Null verschiedenes Polynom nur endlich viele
Nullstellen besitzt, ist jede algebraische Teilmenge A ⊆ C entweder ganz C oder endlich.
Umgekehrt ist jede endliche Teilmenge A = {a1 , . . . , an } von C die Nullstellenmenge
des Polynoms p(z) = (z − a1 ) · . . . · (z − an ). Die Zariski-Topologie auf C hat als
abgeschlossene Mengen also genau die endlichen Mengen und ganz C.
Dies kann man jetzt auf beliebige Mengen X ausdehnen. Ist X eine Menge, so erfüllt
die Menge
A := {A ⊆ X|A ist endlich} ∪ {X}
alle Axiome der abgeschlossenen Mengen eines topologischen Raums, und die Komplemente τ := {X\A|A ∈ A} bilden damit eine Topologie auf X, genannt die cofinite
Topologie auf X.
Nachdem wir allgemeine topologische Räume eingeführt haben, wollen wir jetzt
einige der von metrischen Räumen bekannten Grundtatsachen auf topologische Räume
verallgemeinern.
Definition 3.3: Sei X ein topologischer.
(a) Eine Menge U ⊆ X heißt Umgebung eines Punktes x ∈ X wenn es eine offene
Menge V ⊆ X mit x ∈ V ⊆ U gibt. Insbesondere ist eine offene Menge Umgebung
jedes ihrer Punkte.
(b) Sei A ⊆ X. Ein Punkt x ∈ A heißt ein innerer Punkt von A, wenn A eine
Umgebung von x ist, wenn es also eine offene Menge U ⊆ X mit x ∈ U ⊆ A gibt.
Die Menge aller inneren Punkte von A heißt das Innere von A und wird mit A◦
bezeichnet. Offenbar ist
[
A◦ = {U ⊆ X|U ⊆ X ist offen mit U ⊆ A}
die größte offene Teilmenge von X, die in A enthalten ist.
(c) Sei A ⊆ X. Da Durchschnitte abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind,
ist
\
A := {B ⊆ X|B ⊆ X ist abgeschlossen mit A ⊆ B}
die kleinste A umfassende, abgeschlossene Teilmenge von X. Man nennt die Menge A den Abschluss von A oder die abgeschlossene Hülle von A.
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(d) Ist A ⊆ X, so heißt die Menge ∂A := A\A◦ der Rand von A.
Wie in den Übungsaufgaben gezeigt wird, kann man auch den Umgebungsbegriff anstelle des Begriffs der offenen Menge als Grundbegriff zur Definition eines topologischen
Raums verwenden. Ebenso kann man auch Axiome an die Abschlußoperation aufstellen
und diese als Grundbegriff verwenden. Wir wissen schon das das Innere einer Teilmenge
von X offen ist und ihr Abschluss abgeschlossen ist. Weiter gilt:
Lemma 3.1: Seien X ein topologischer Raum und A ⊆ X. Dann ist der Rand ∂A ⊆ X
abgeschlossen in X und X ist die disjunkte Vereinigung X = A◦ ∪ (X\A) ∪ (∂A).
Beweis: Wegen A◦ ⊆ A ⊆ A ist A◦ ∩ (X\A) = ∅. Außerdem ist
X\(A◦ ∪ (X\A)) = (X\A◦ ) ∩ (X\(X\A)) = (X\A◦ ) ∩ A = A\A◦ = ∂A,
d.h. ist die disjunkte Vereinigung von A◦ , X\A und ∂A. Insbesondere ist
X\∂A = A◦ ∪ (X\A)
offen in X, d.h. der Rand ∂A ist abgeschlossen in X.
Wie bei metrischen Räumen kann man den Abschluß auch mit Hilfe von Umgebungen
beschreiben.
Lemma 3.2: Seien X ein topologischer Raum, A ⊆ X und x ∈ X. Dann ist genau
dann x ∈ A wenn U ∩ A 6= ∅ für jede Umgebung U von x in X gilt.
Beweis: ”=⇒” Wir zeigen die Kontraposition, es gebe also eine Umgebung U von x
in X mit A ∩ U = ∅. Dann existiert eine offene Menge V ⊆ X mit x ∈ V ⊆ U und
dann ist auch A ∩ V = ∅. Es folgt A ⊆ X\V und X\V ist abgeschlossen in X. Da der
Abschluss von A die kleinste A umfassende, abgeschlossene Menge ist, ist damit auch
A ⊆ X\V und wegen x ∈ V ist x ∈
/ A.
”⇐=” Sei B ⊆ X abgeschlossen in X mit A ⊆ B. Da X\B ⊆ X offen mit A∩(X\B) =
∅ ist, ist X\B keine Umgebung von x in X, also x ∈
/ X\B und somit x ∈ B. Damit
liegt x in jeder A umfassenden, abgeschlossenen Menge und dies zeigt x ∈ A.
Insbesondere stimmt der hier der definierte Abschluß im Fall eines metrischen Raums
X mit dem in der Analysis Vorlesung definierten Abschluß überein. Wir benötigen
auch noch einige Grundkonstruktionen um aus gegebenen topologischen Räume neue
zu konstruieren. Die einfachste solche Konstruktion ist die Bildung von Teilräumen.
Definition 3.4: Seien (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X eine Teilmenge. Dann
ist die Menge
τ |A := {U ∩ A|U ∈ τ } ⊆ P(A)
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offenbar eine Topologie auf A, genannt die von X auf A induzierte Topologie. Einige
andere für diese Topologie verwendete Namen sind Teilraumtopologie, Relativtopologie
oder Spurtopologie.
Normalerweise werden Teilmengen eines topologischen Raums immer automatisch mit
dieser Topologie versehen. Eine weitere Konstruktion besteht in der Produktbildung
topologischer Räume.
Definition 3.5: Seien X, Y
τ := U ⊆ X × Y
zwei topologische Räume. Dann ist die Menge
∀((x, y) ∈ U )∃(V ⊆ X offen)∃(W ⊆ Y offen)
x ∈ V, y ∈ W und V × W ⊆ U
offenbar eine Topologie auf X × Y genannt die Produkttopologie der Topologien von
X und Y . Der topologische Raum (X × Y, τ ) wird dann auch der Produktraum von X
und Y genannt.
In anderen Worten sind die offenen Mengen in X × Y genau die Mengen der Form
[
U=
Vi × Wi
i∈I
wobei (Vi )i∈I , (Wi )i∈I Familien offener Mengen in X beziehungsweise Y sind. Sind
X und Y metrische Räume, so kann man auf dem Produkt X × Y diverse Metriken
einführen, zum Beispiel
p
d1 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) :=
d(x1 , x2 )2 + d(y1 , y2 )2 ,
d2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) := d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ),
d1 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) := max{d(x1 , x2 ), d(y1 , y2 )}.
Alle diese Metriken definieren dieselbe Topologie auf X × Y nämlich die Produkttopologie. Während es also keine kanonische Produktmetrik gibt, gibt es sehr wohl
eine kanonische Produkttopologie. Die letzte unserer Grundkonstruktionen ist jetzt die
Quotientenbildung.
Definition 3.6: Seien X ein topologischer Raum und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X.
Bezeichne X/ ∼ die Menge der Äquivalenzklassen von ∼ und sei p : X → X/ ∼ die
Projektion, die jedem x ∈ X seine Äquivalenzklasse zuordnet. Dann ist die Menge
τ := {U ⊆ X/ ∼ |p−1 (U ) ⊆ X ist offen}
eine Topologie auf X/ ∼, genannt die Quotiententopologie von X modulo der Äquivalenzrelation ∼.
In einem allgemeinen topologischen Raum müssen endliche Mengen nicht abgeschlossen sein, nicht einmal wenn sie nur ein Element haben. Beispielsweise ist in der indiskreten Topologie (X, {∅, X}) jede einelementige Menge dicht, d.h. es gilt {x} = X für
jedes x ∈ X. In gewissen Sinne hat man in solchen Räumen zu wenige offene Mengen.
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Man führt nun gewisse Reichhaltigkeitsaxiome, die sogenannten Trennungsaxiome, ein,
die die Existenz vieler offener Mengen fordern.
Definition 3.7: Sei X ein topologischer Raum.
(a) Der Raum X erfüllt das Trennungsaxiom T1 , wenn es für je zwei Punkte x, y ∈ X
mit x 6= y stets eine offene Menge U ⊆ X mit x ∈ U und y ∈
/ V gibt.
(b) Der Raum X erfüllt das Trennungsaxiom T2 , wenn es für je zwei Punkte x, y ∈ X
mit x 6= y stets offene Mengen U, V ⊆ X mit x ∈ U , y ∈ V und U ∩ V = ∅ gibt.
In diesem Fall nennt man X auch hausdorffsch oder einen Hausdorffraum.
Offenbar impliziert das Trennungsaxiom T2 auch T1 . Das Axiom T1 ist offenbar dazu
gleichwertig das bei gegebenen y ∈ X jeder Punkt x ∈ X\{y} ein innerer Punkt von
X\{y} ist, das also X\{y} offen ist. Damit haben wir
T1 ⇐⇒ Für jedes x ∈ X ist {x} ⊆ X abgeschlossen.
Beispielsweise ist jeder metrische Raum X hausdorffsch, denn sind x, y ∈ X mit x 6= y,
so sind die Kugeln U = B (x) und V = B (y) mit := d(x, y)/2 disjunkte offene
Umgebungen von x und y. Ein Beispiel eines topologischen Raums der T1 erfüllt aber
nicht hausdorffsch ist, ist etwa X = Cn in der Zariski-Topologie.
Wie gesagt dienen topologische Räume als Rahmenbegriff um stetige Abbildungen
einführen zu können. Wie bei metrischen Räumen hat man einmal die globale Stetigkeit
und zum anderen die Stetigkeit in einem einzelnen Punkt. Üblicherweise werden diese
wie folgt definiert:
Definition 3.8: Seien X, Y zwei topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung.
Dann heißt f stetig, wenn für jede offene Menge U ⊆ Y auch f −1 (U ) ⊆ X offen ist.
Weiter heißt f stetig in einem Punkt x ∈ X, wenn es für jede Umgebung U von f (x)
in Y stets eine Umgebung V von x in X mit f (V ) ⊆ U gibt.
Etwas symmetrischer kann man die Stetigkeit von f : X → Y in einem Punkt x ∈ X
auch so formulieren, das für jede Umgebung U von f (x) in Y auch f −1 (U ) ⊆ X eine
Umgebung von x in X ist. Sind X und Y metrische Räume, so können wir für unsere
Umgebungen Kugeln verwenden und sehen das die Stetigkeit von f in x gleichwertig
zur üblichen –δ Definition der Stetigkeit in metrischen Räumen ist.
Lemma 3.3 (Charakterisierungen stetiger Abbildungen)
Seien X, Y zwei topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung. Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Abbildung f ist stetig.
(b) Die Abbildung f ist in jedem Punkt x ∈ X stetig.
(c) Für jede Teilmenge A ⊆ X gilt f (A) ⊆ f (A).
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(d) Für jede abgeschlossene Teilmenge A ⊆ Y ist auch f −1 (A) ⊆ X abgeschlossen.
Beweis: (a)=⇒(b). Sei x ∈ X. Sei U eine Umgebung von f (x) in Y . Dann existiert eine
offene Menge W ⊆ Y mit f (x) ∈ W ⊆ U . Da f stetig ist, ist auch V := f −1 (W ) ⊆ X
offen und wegen f (x) ∈ W ist x ∈ V , d.h. V ist eine Umgebung von x in X mit
f (V ) = f (f −1 (W )) ⊆ W ⊆ U . Damit ist f in x stetig.
(b)=⇒(c). Sei A ⊆ X. Sei x ∈ A und wir wollen f (x) ∈ f (A) zeigen. Sei U eine
Umgebung von f (x) in Y . Da f in x stetig ist, existiert eine Umgebung V von x in X
mit f (V ) ⊆ U . Nach Lemma 2 ist A ∩ V 6= ∅. Damit ist auch
∅=
6 f (A ∩ V ) ⊆ f (A) ∩ f (V ) ⊆ f (A) ∩ U,
d.h. wir haben f (A) ∩ U 6= ∅. Nach Lemma 2 ist damit f (x) ∈ f (A). Dies zeigt
f (A) ⊆ f (A).
(c)=⇒(d). Sei A ⊆ Y abgeschlossen. Wir betrachten die Menge B := f −1 (A) ⊆ X.
Mit der vorausgesetzten Aussage (c) ergibt sich
f (B) ⊆ f (B) = f (f −1 (A)) ⊆ A = A.
Damit ist auch B ⊆ f −1 (A) = B ⊆ B, d.h. es ist B = B. Insbesondere ist f −1 (A) = B
abgeschlossen in X.
(d)=⇒(a). Sei U ⊆ Y offen. Dann ist Y \U ⊆ Y abgeschlossen, und nach unserer
Voraussetzung ist auch X\f −1 (U ) = f −1 (Y \U ) ⊆ X abgeschlossen, d.h. f −1 (U ) ⊆ X
ist offen. Damit ist f stetig.
Wir wollen einige einfache Beispiele stetiger Abbildungen festhalten.
1. Seien X, Y zwei topologische Räume und a ∈ X. Dann ist die Abbildung f :
Y → X × Y ; y 7→ (a, y) stetig. Sei nämlich U ⊆ X × Y offen. Dann
S existieren
Familien offener Mengen (Vi )i∈I in X und (Wi )i∈I in Y mit U = i∈I Vi × Wi .
Für jedes i ∈ I ist
(
Wi , a ∈ Vi ,
f −1 (Vi × Wi ) =
∅,
a∈
/ Vi
S
offen in Y , und damit ist auch f −1 (U ) = i∈I f −1 (Vi × Wi ) offen in Y . Dies
beweist die Stetigkeit von f . Analog ist auch g : X → X × Y ; x 7→ (x, b) für jedes
b ∈ Y stetig.
2. Seien X, Y wieder zwei topologische Räume. Dann sind die beiden Projektionen
pr1 : X × Y → X; (x, y) 7→ x und pr2 : X × Y → Y ; (x, y) 7→ y
stetig. Ist nämlich U ⊆ X offen, so ist pr−1
1 (U ) = U × Y offen in X × Y , d.h. pr1
ist stetig. Analog ist auch pr2 stetig.
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3. Sind X, Y, Z drei topologische Räume und f : X → Y , g : Y → Z stetig, so ist
auch die Hintereinanderausführung g◦f : X → Z stetig. Ist nämlich U ⊆ Z offen,
so ist auch g −1 (U ) ⊆ Y offen und damit ist auch (g ◦f )−1 (U ) = f −1 (g −1 (U )) ⊆ X
offen.
Wir werden später noch einige weitere allgemeine Aussagen über Stetigkeit festhalten,
aber zunächst reichen uns die hier angegebenen. Als eine kleine Anwendung der Stetigkeit der Projektionen, wollen wir einmal die folgende oft wichtige Formel einsehen:
Sind X, Y zwei topologische Räume, A ⊆ X und B ⊆ Y zwei Teilmengen, so gilt für
den Abschluß von A × B im Produktraum X × Y
A × B = A × B.
Zunächst ist nämlich
(X × Y )\(A × B) = (X\A) × Y ∪ X × (Y \B)
offen in X × Y , d.h. A × B ist abgeschlossen in X × Y mit A × B ⊆ A × B, und damit
ist auch A × B ⊆ A × B. Weiter ergibt die Stetigkeit der Projektionen mit Lemma 3
auch
pr1 (A × B) ⊆ pr1 (A × B) ⊆ A
und analog pr2 (A × B) ⊆ B, also ist A × B ⊆ A × B. Damit ist die Formel A × B =
A × B bewiesen.
Wir haben jetzt alles beisammen um endlich den Begriff einer topologischen Gruppe
einführen zu können.
Definition 3.9: Eine topologische Gruppe ist ein Tripel (G, ·, τ ) bestehend aus einer
Gruppe (G, ·) und einem topologischen Raum (G, τ ), das die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
(a) Die Multiplikation · : G × G → G ist stetig.
(b) Die Inversenbildung
−1
: G → G ist stetig.
Beispiele topologischer Gruppen sind etwa (Rn , +) in der üblichen Topologie und
GLn K für K ∈ {R, C}. Wir wollen auch noch kurz an einem Beispiel zeigen, dass
es tatsächlich nötig ist die Stetigkeit des Invertierens zu fordern, diese folgt nicht aus
der Stetigkeit der Multiplikation. Betrachte etwa die additive Gruppe von R in der
Sorgenfrey-Topologie. Dann ist die Addition stetig. Seien nämlich x, y ∈ R gegeben
und sei U eine Umgebung von x + y in der Sorgenfrey-Topologie. Dann existiert ein
> 0 mit [x + y, x + y + ) ⊆ U . Damit sind [x, x + /2) eine Umgebung von x und
[y, y + /2) eine Umgebung von y mit
h
h
x, x +
+ y, y +
= [x + y, x + y + ) ⊆ U,
2
2
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und es folgt die Stetigkeit der Addition in (x, y). Dagegen ist die Inversenbildung, also
σ(x) = −x, nicht stetig. Beispielsweise ist [0, 1) offen in der Sorgenfrey-Topologie aber
σ −1 ([0, 1)) = (−1, 0] ist nicht offen in der Sorgenfrey-Topologie. Wir wollen ein erstes
kleines allgemeines Lemma beweisen.
Lemma 3.4 (Abschluß von Untergruppen und Normalteilern)
Sei G eine topologische Gruppe.
(a) Ist H ≤ G eine Untergruppe, so ist auch H ≤ G eine Untergruppe.
(b) Ist N G ein Normalteiler, so ist auch N G ein Normalteiler.
Beweis: (a) Zunächst ist 1 ∈ H ⊆ H. Weiter folgen mit Lemma 3 auch
H · H = ·(H × H) = ·(H × H) ⊆ ·(H × H) = H · H = H
und
H
−1
⊆ H −1 = H,
und damit ist H ≤ G eine Untergruppe von G.
(b) Nach (a) ist N ≤ G zumindest eine Untergruppe von G. Sei a ∈ G. Wir behaupten
das die Konjugation mit a, also die Abbildung
f : G → G; x 7→ a−1 xa
stetig ist. Zunächst haben wir die folgenden Hintereinanderausführungen stetiger Abbildungen
f1 : G −→ G × G −→ G
x 7→ (a−1 , x) 7→ a−1 x
und
f2 : G −→ G × G −→ G
x 7→ (x, a) 7→ xa.
Wegen f = f2 ◦ f1 ist damit auch f stetig. Erneut mit Lemma 3 erhalten wir
a−1 N a = f (N ) ⊆ f (N ) = a−1 N a = N .
Damit ist N G ein Normalteiler von G.
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