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Neuer Abschnitt:
Modellierung des
Raumes
Bisher:
Modellierung von
Objekten
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Räume (I)
• Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer
Anschauung
• anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere
Wahrnehmung organisieren
• die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung
(Messung) voraus
• eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante
• ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche
Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu
vertreten
• Geschwindigkeit Invariante gegenüber
• Tachometer
• Radarmessung der Polizei
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Räume (II)
• Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern
mehrere Räume
• abhängig von der Fragestellung
• 4 große Bereiche
• Betrachungen auf der Erdoberfläche
• Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen)
• Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte)
• Netzentwürfe, Kartographie
• Abbildungen im Raum und in der Ebene
• euklidische Geometrie, lineare Algebra
• Projektion auf das Bild
• Verzerrende Abbildungen, Topologie
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Operationen
Invarianten
Abbildungen
Geradentreue
Projektivität
Parallelentreue
Affinität
... + Scherung
Winkeltreue
Ähnlichkeit
Zoom  + r + t
Abstandstreue
Bewegung
r+t
Verschiebung t
Translation
Koordinatendifferenzen
... + Parallelenkonvergenz
Rotation
Richtungswinkel
-differenzen
Rotation r (um 0)
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Topologische Räume
• In der Praxis sinnvolle Transformationen, die
• alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können
• trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten
• Paradigma: elastische Verformung
• Metapher: Gummihauttransformation
• anderes Beispiel: Tätowierung
• (kartographisches) Beispiel:
• Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner)
• Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes
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Übersichtskarte Hamburg und
Umgebung
6
Schnellbahnen
Hamburg und
Umgebung
7
Ausgangspunkt
Elastische
Verformung
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Topologische Invarianten (Beispiele)
• Ein Knoten ist Endpunkt
einer Kante
• Zwei Kanten kreuzen sich /
sind kreuzungsfrei
• Ein Punkt liegt im Inneren
einer Fläche
• Ein Punkt liegt auf dem
Rand einer Fläche
• Eine Fläche hat ein Loch
• Eine Fläche ist
zusammenängend / nicht
zusammenhängend
• Zwei Flächen sind
benachbart
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Nicht-topologische Eigenschaften
•
•
•
•
•
Abstand
Fläche
Winkel
Umfang
Durchmesser
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Mathematik
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Punktmengentopologie
• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller
Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )
• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S
und einer Menge von Teilmengen von S (nicht
notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:
T1: Jeder Punkt x  S liegt in einer Nachbarschaft von S.
T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes
x  S enthält eine Nachbarschaft von x.
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Nachbarschaft
Punkt
Beispiele
Punkt
• Die offene Kreisscheibe
in der euklidischen Ebene
• Menge aller Punkte, die durch
einen Kreis begrenzt werden,
aber nichtauf demselben
liegen
Offene
Kreisscheibe
• punktierte Linie: offen
• durchgezogene Linie:
geschlossen
• Beachte: T2 ist erfüllt
•
Der Durchschnitt zweier
Nachbarschaften eines x  S enthält
eine Nachbarschaft von x.
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Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele
• Die diskrete Topologie von S:
• S und die Menge aller Teilmengen von S
• die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}
(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)
• Die indiskrete Topologie
• S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S
• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen
Zahlen als Nachbarschaften (S = R)
• die offenen Kugeln in S = R3
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Die „Fahrtzeittopologie“
• Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz
erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des
Gebiets.
• Sei d(x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung
zwischen x und y.
• Annahme Für alle x, y  S gilt: d(x,y) = d(y,x)
• Symmetrie, keine Einbahnstraßen
• t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t
Minuten erreichbar ist.
• S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.
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Die 1-Stunden-Zone um Liége
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Jetzt kommen einige
auf den ersten Blick
recht abstrakte
Definitionen
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Zielbegriff:
Der Rand oder die Grenze
Teilziel:
Offene und
geschlossene Flächen
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Nähe, Offen + Geschlossen
Im folgenden stets: S sei ein
topologischer Raum,
X  S, x  S
x ist nahe an X, falls jede
Nachbarschaft von x einen Punkt
von X enthält.
X ist offen, wenn jeder Punkt y  X
eine Nachbarschaft hat, die ganz in
X ist.
X ist geschlossen, wenn X alle
nahen Punkte enthält.
C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die
offene Kreisscheibe um den
Ursprung mit Radius 1.
Nicht nahe
nahe
geschlossen
offen
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Der Rand oder die Grenze
Der Abschluß einer Teilmenge
X  S ist die Vereinigung von X
mit allen nahen Punkten.
Notation: X¯
Komplement: X‘
Das Innere von X ist die Menge
aller Punkte von X, die nicht
zugleich nahe Punkte von X‘
sind.
Notation: X°
Die Grenze (oder der Rand) von X
ist die Menge aller Punkte, die nahe
zu X und zugleich zu X‘ sind.
Notation: dX
Es gilt:
dX = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)
Der „Rand“ einer offenen
Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu
erwarten)
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Beispiele
Die Menge S
Abschluß von S
Das Innere von S
Rand von S
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Zusammenhang
nicht zusammenängend
Ein Punktmenge X heißt
zusammenhängend, wenn für
jede Partition (disjunkte
Zerlegung) in nichtleere
Teilmengen A und B gilt:
Entweder enthält A einen Punkt
nahe an B oder umgekehrt.
zusammen
hängend
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Diskret und indiskret
Übung 1:
Zeigen Sie:
In der diskreten Topologie ist
jede nichtleere Menge
gleichzeitig offen und
geschlossen.
Übung 2:
Zeigen Sie:
In der indiskreten Topologie ist
jede nichtleere Menge weder
offen noch geschlossen.
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Topologische Eigenschaften
Eine topologische Transformation (Homeomorphismus)
oder eine elastische
Verformung bildet Nachbarschaften auf Nachbarschaften
ab.
Euklidische Topologie
äquivalent
Ferner ist jede Nachbarschaft
Bild eine Nachbarschaft.
nicht äquivalent
Topologische Eigenschaften
sind die Invarianten
topologischer Abbildungen.
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