Xist

„Topologie“ Wiederholung der
letzten Stunde
1
Punktmengentopologie
• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller
Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )
• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S
und einer Menge von Teilmengen von S (nicht
notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:
T1: Jeder Punkt x  S liegt in einer Nachbarschaft von S.
T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes
x  S enthält eine Nachbarschaft von x.
2
Nachbarschaft
Punkt
Beispiele
Punkt
• Die offene Kreisscheibe
in der euklidischen Ebene
• Menge aller Punkte, die durch
einen Kreis begrenzt werden,
aber nichtauf demselben
liegen
Offene
Kreisscheibe
• punktierte Linie: offen
• durchgezogene Linie:
geschlossen
• Beachte: T2 ist erfüllt
•
Der Durchschnitt zweier
Nachbarschaften eines x  S enthält
eine Nachbarschaft von x.
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Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele
• Die diskrete Topologie von S:
• S und die Menge aller Teilmengen von S
• die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}
(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)
• Die indiskrete Topologie
• S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S
• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen
Zahlen als Nachbarschaften (S = R)
• die offenen Kugeln in S = R3
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Nähe, Offen + Geschlossen
Im folgenden stets: S sei ein
topologischer Raum,
X  S, x  S
x ist nahe an X, falls jede
Nachbarschaft von x einen Punkt
von X enthält.
X ist offen, wenn jeder Punkt y  X
eine Nachbarschaft hat, die ganz in
X ist.
X ist geschlossen, wenn X alle
nahen Punkte enthält.
C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die
offene Kreisscheibe um den
Ursprung mit Radius 1.
Nicht nahe
nahe
geschlossen
offen
5
Der Rand oder die Grenze
Der Abschluß einer Teilmenge
X  S ist die Vereinigung von X
mit allen nahen Punkten.
Notation: X¯
Komplement: X‘
Das Innere von X ist die Menge
aller Punkte von X, die nicht
zugleich nahe Punkte von X‘
sind.
Notation: X°
Die Grenze (oder der Rand) von X
ist die Menge aller Punkte, die nahe
zu X und zugleich zu X‘ sind.
Notation: X
Es gilt:
X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)
Der „Rand“ einer offenen
Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu
erwarten)
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Beispiele
Die Menge S
Abschluß von S
Das Innere von S
Rand von S
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Topologische Eigenschaften
Eine topologische Transformation (Homeomorphismus)
oder eine elastische
Verformung bildet Nachbarschaften auf Nachbarschaften
ab.
Euklidische Topologie
äquivalent
Ferner ist jede Nachbarschaft
Bild eine Nachbarschaft.
nicht äquivalent
Topologische Eigenschaften
sind die Invarianten
topologischer Abbildungen.
Zeugen
8
Zusammenhang (I)
nicht zusammenängend
Ein Punktmenge X heißt
zusammenhängend, wenn für
jede Partition (disjunkte
Zerlegung) in nichtleere
Teilmengen A und B gilt:
Entweder enthält A einen Punkt
nahe an B oder umgekehrt.
zusammen
hängend
wichtiger Punkt für den schwierigen Fall
„A oberer Kreis, B unterer Kreis“
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Zusammenhang (II)
• Ein Pfad ist homeomorphes
Bild (entsteht durch elastische
Verformung aus) einer
geraden Kante.
• Eine Menge X eines
topologischen Raumes heißt
(pfad-) zusammenhängend,
wenn jedes Paar von Punkten
durch einen Pfad verbunden
werden kann, der ganz in X
liegt.
• (Für Flächen mit „vernünftigen“ Grenzen äquivalent zu
Definition auf voriger Folie)
elastische
Verformung
Pfadzusammenhang
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Regularisierung
• X sei eine Punktmenge der
Euklidischen Ebene mit der
Standardtopologie (offene
Kreisscheiben).
Die Regularisierung von X
ist der Abschluß des Inneren
von X
reg(X) = X°¯
Inneres
•
X
Abschluß
Ergebnis ist ein rein
flächenhaftes Objekt (ohne
Beimengung von Punkten und
Linien, die nicht zur
Flächenbildung beitragen)
reg(X)
11
Tesselation
•
•
•
Eine Tesselation ist eine
vollständige und
überlappungsfreie Zerlegung
der euklidischen Ebene in
flächenhafte Objekte
(Maschen).
vollständig: jeder Punkt ist
Element mindestens einer
Masche
überlappungsfrei: kein Punkt
liegt im Inneren zweier Maschen
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Landkarten
• Landkarten sind Tesselationen mit
folgenden Eigenschaften:
a) jede Masche ist der
geschlossenen Kreisscheibe
topologisch äquivalent
b) die Aggregation aller inneren
Maschen ist der geschlossenen
Kreisscheibe topologisch
äquivalent
• Beachte: zu jeder Landkarte gehört
eine unbeschränkte Masche
„Außen“ - die einzige Masche, die
nicht der geschlossenen Kreisscheibe äquivalent ist
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Einschränkungen
•
Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten
folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen:
•
Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg)
•
Auseinander liegende „Kontinente“:
die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend
•
Mehrere Kontinente, die sich in
genau einem Punkt berühren
•
Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen
auseinander liegenden Maschen Kontinenten,
z.B. Hindenburgdamm/Sylt
•
Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen
•
Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen
a) und b) unter Verwendung der Definition der
topologischen Äquivalenz.
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Topologische Beziehungen
in Landkarten
• Adjazenz von
Knoten und Kanten
• Adjazenz von
Kanten und Maschen
• Adjazenz von
Kanten und Kanten
• Adjazenz von
Maschen und Maschen
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Geometreisch-Topologische
Datenstrukturen für Landkarten
• Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der
Geometrie hergeleitet werden
• Option: „Wieviel“ Topologie wird explizit
repräsentiert?
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Repräsentationen
von Landkarten
1. SpaghettiStruktur
- nur Geometrie
- keine Topologie
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Spaghetti
Flächen:
A:
2.0
5.0
7.0
5.0
1.0
0.0
1.0
3.0
4.0
1.0
B:
5.0
7.0
7.0
5.0
4.0
3.0
6.0
6.0
C:
5.0
5.0
5.0
0.0
1.0
4.0
6.0
7.0
3.0
1.0
(5.0 7.0)
(5.0 6.0)
(7.0 6.0)
C
B
(5.0 4.0)
(0.0 3.0)
A
(1.0 1.0)
(2.0 0.0)
(7.0 3.0)
(5.0 1.0)
x
18
y
UML-Diagramm für die
Spaghetti-Struktur
Masche
1..1
Paare von
Koordinaten
2n
geordnete Folge
von Koordinaten
{geordnet}
Koordinate
[0,0,1,0,1,1,0,1] 
[0,0,1,1,0,1,1,0]
19
Flächen:
Spaghetti
(Komposition von Punktobjekten)
A:
P1
P4a
P2
P5a
P3a
B:
P4b
P7b
P3b
P6
C:
P4c
P9
P7b
P5c
P8
P8
P7c
P7b
P6
B
C
P9
P4c P4b
P4a
A
P5c
P5a
P2
P1
P3b
P3a
Punkte:
P1
2.0
P2
5.0
P3a 7.0
P3b 7.0
P4a 5.0
P4b 5.0
P4c
5.0
...........
0.0
1.0
3.0
3.0
4.0
4.0
4.0
20
UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur
mit Punkt-Objekten
Masche
Komposition
1..1
n {geordnet}
Punkt
21
Vor- und Nachteile
• Vorteile:
• bequem für
Flächenberechnung
• gut für Graphikprogramme
• Zeichnen von Polygonen
• Nachteile:
•
•
•
•
Topologie nur implizit
fehleranfällig
wenig änderungsfreundlich
Beispiel: Korrektur von
Punktkoordinaten
2.0, 5.0
P1
P2
P3
P1
P5
P4
3.0, 6.0
7.0, 2.0
22
Typischer Fehlerfall für Spaghetti:
Änderung der Koordinaten eines
gemeinsamen Punktes
vorher
nachher
23
Punktobjekte ohne
Redundanz
P8
P7
P6
Flächen:
A:
P1
P2
P3
P4
B:
P4
P3
P6
P7
C:
P4
P7
P8
P9
B
C
Punkte:
P4
P9
P3
A
P5
P2
P1
P1
2.0
0.0
P2
5.0
1.0
P3
7.0
3.0
P4
5.0
4.0
P5
1.0
1.0
P6
7.0
6.0
.............................
24
P5
P5
UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur
mit Punkt-Objekten ohne Redundanz
Masche
Aggregation
1..n
n {geordnet}
Beachte:
Redundanzfreiheit
kann durch dies
UML-Diagramm
nicht erzwungen
werden.
Punkt
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Knoten-MaschenStruktur
Kante
Anfangsknoten
P8
Außen
Kanten:
E9
E10
P6
E8
C
P9
E7
P7
B
P4
A
P5
E5
E1
P1
P3
E3
E4
E11
E6
E2
P2
Endknoten
linke
Masche
rechte
Masche
E1 P1 P2 A
Außen
E2 P2 P3 A
Außen
E3 P3 P4 A
B
E4 P4 P5 A
C
E5 P5 P1 A
Außen
E6 P3 P6 B
Außen
..............................................
Knoten:
P1
2.0
0.0
P2
5.0
1.0
26
..............................................
UML-Diagramm für die
Knoten- und
Kantenstruktur
Masche
2
begrenzt
3..*
Kante
Topologie explizit
neu
2..*
begrenzt
2
Knoten
1
Redundanzfreiheit wird
erzwungen
Geometrie
1
Punkt
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Vor- und Nachteile der Knoten- und
Kanten-Struktur
• Vorteile:
• Geometrie ist
redundanzfrei
• Topologie ist explizit
• bei Änderungen können
Fehler leichter vermieden
werden
• Nachteil
• der Kantenumring ist nicht
direkt gegeben, sondern
muß berechnet werden
• Lösung: Kanten mit Flügeln
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