Geometrie und Topologie von Flächen (Kotschick)

Geometrie und Topologie von Flächen (Kotschick)
Mitgeschrieben von Bernhard Weiß
Mitschrift aus dem SoSe 2009
1
INHALTSVERZEICHNIS
I
Inhaltsverzeichnis
1 Topologische Räume
Inhaltsverzeichnis
1
1
1
Topologische Räume
Definition 1
Ein topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Teilmenge O ⊂ P(X)
sodass gilt:
1. Xi ∈ O, i ∈ I ⇒
S
Xi ∈ O
2. X1 , X2 ∈ O ⇒ X1 ∩ X2 ∈ O
3. ∅, X ∈ O
Die Elemente von O heißen offene Mengen
Beispiel 1
1. X beliebig, O = P(x) die diskrete Topologie
2. X beliebig, O = {∅, X} die indiskrete Topologie
3. X = {p1 , p2 , p3 }, O = {∅, {p1 , }, {p1 , p2 }, X}
4. X = Rn , U ∈ O genau dann wenn U im Sinne der Analysis offen in Rn ist, d.h.
∀p ∈ U ∃ > 0, sodass B (p) = {q ∈ Rn | |p − q| < } ⊂ U
5. X ein metrischer Raum U ∈ O offen ⇔∀p ∈ U ∃ > 0, sodass
B (p) = {q ∈ X|d(p, q) < } ⊂ U
Definition 2
Ein Metischer Raum ist ein Paar (X, d), X eine Menge und d : X × X → R sodass:
1. d(p, q) ≥ 0 mit gleichheit genau dann wenn p = q
2. d(p, q) = d(q, p)
3. d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
Bemerkung 1
Beispiel 5. definiert auf jedem metrischen Raum eine Topologie, die metrische Topologie.
Beispiel 2
d(p,q)
(X, d) metrischer Raum, dann definiere d1 (p, q) := 1+d(p,q)
dann ist (X, d1 ) ein metrischer Raum, und die metrischen Topologien von (X, d) und
(X, d1 ) stimmen überein.
Definition 3
Seien (X, Ox ), (Y, Oy ) topologischer Räume
Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig :⇔ f −1 (U ) ∈ Ox ∀U ∈ OY
2
1 TOPOLOGISCHE RÄUME
Bemerkung 2
Für metrische Räume mit den metrischen Topologien stimmt diese Definition mit der
/δ Definition aus der Analysis überein.
Definition 4
(X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume
Eine Abbildung f : X → Y heißt Homäomorphismus , wenn f bijektiv ist und f, f −1
stetig sind.
Bemerkung 3
Topologiche Eigenschaften sind solche Eigenschaften, die invariant unter Homäomorphismen sind.
Definition 5
Sei (X, OX ) ein topologischer Raum, Y ⊂ X
Dann ist die Teilraumtopologie von Y definiert durch:
OY := {U ⊂ Y |∃V ∈ Ox : V ∩ Y = U }
Bemerkung 4
1. (Y, OY ) erfüllt die Eigenschaften in der Definition eines Topologischen Raumes.
2. Die Inklusion i : Y ,→ X ist stetig bzgl. Ox , OY
Bemerkung 5
Stetigkeit von f : X → Y hängt von OX , → OY ab.
Z.b. ist OX die diskrete Topologie auf X, so ist jedes f stetig unabhängig von (Y, OY )
Ein weiteres Beispiel: Ist OY die indiskrete Topologie auf Y, dann ist jedes f : X → Y
stetig, unabhängig von (X, OX )
Bemerkung 6
(X, d)
↓
→
(Y, d|Y ×Y )
↓
teilraumT opologie
(X, OX )
−→
(Y, OY )
Dies sind zwei arten (Y, OY ) zu definieren, wenn Y ⊂ X, (X, d) metrischer Raum
Definition 6
(X, OX ), (Y, O`
Y ) zwei topologische Räume
X + Y = X Y die topologische
Summe`oder disjunkte Vereinigung hat als zu`
grundeliegende Menge X Y und U ⊂ X Y ist offen genau dann wenn U ∩ X ∈
Ocalx , U ∩ Y ∈ OY
Definition 7
Y ⊂ X heißt abgeschlossen falls X \ Y ∈ O
Definition 8 (alternative Definition eines top. Raumes)
Ein Topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit A ⊂ P(X) sodass gilt:
3
1. Durchschnitte von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
2. Vereinigungen von je zwei abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
3. ∅, X ∈ A
Definition 9
Sei (X, O) ein topologischer Raum, p ∈ X,
Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt Umgebung von p wenn e ein U ∈ O gibt mit p ∈ U ⊂ Y
Definition 10
(X, O) ein topologischer Raum
1. Ist p ∈ Y ⊂ X, so heißt p innerer Punk von Y falls Y eine Umgebung von p ist.
◦
Y := {p ∈ Y |p innerer Punkt von Y } offener Kern von Y
2. Y ⊂ X
p ∈ X heißt Randpunkt von Y falls weder Y noch X \ Y Umgebung von p ist.
3. Y ⊂ X
T
Die Abgeschlossene Hülle , der Abschluss , von Y in X ist Y := i∈I Ai
wobei Ai abgeschlossene Mengen sind mit Y ⊂ Ai
Bemerkung
7
◦
(a) Y ist offen
(b) Y ist Abgeschlossen
◦
(c) Y ⊂ Y ⊂ Y
Definition 11
(X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume
Das (direkte) Produkt der beiden topologischen Räume hat als zugrundeliegende
Menge
X × Y = {(p, q)| p ∈ X, q ∈ Y }
Eine Menge A ⊂ X × Y ist offen in der Produkt Topologie falls gilt:
∀(p, q) ∈ A∃ offene Mengen U ∈ OX , V ∈ OY mit p ∈ U, q ∈ V, U × V ⊂ A
Definition 12
(X, O) ein topologischer Raum, B ⊂ O
B heißt Basis der Topologie O falls jede Menge on O Vereinigung von Mengen in B
ist.
Beispiel 3
1. X × Y mit der Produkt Topologie O
B = {U × V |U ⊂ X offen, V ⊂ Y offen } Basis für O
4
1 TOPOLOGISCHE RÄUME
2. (X, d) metrischer Raum
B = {B (p)|p ∈ X, > 0} Basis für die metrische Topologie auf X
3. Nicht-Beispiel:
(X, d) S
B (p) = δ< Bδ (p)
B (p) = {q ∈ X|d(p, q) < }
B (p) = {q ∈ X|d(p, q) ≤ }
Definition 13
(X, O) topologischer Raum, S ⊂ O
S heißt Subbasis der Topologie von O falls jede Menge in O Vereinigung von endlichen
Durchschnitten von Mengen in S.
Bemerkung 8
Ist S ⊂ P(X) eine beliebige Teilmenge, so erzeugt S eine Topologie O indem man
als Elemente von O alle Vereinigungen von endlichen Durchschnitten von Mengen in
S nimmt und X ∈ O.
Dieses O hat S als Subbasis.
Bemerkung 9
Die Metrische Topologie auf Rn hat eine abzählbare Basis der Topologie.
Definition 14
Ein Topologischer Raum (X, O) heißt zusammenhängend falls gilt:
sind U, V ∈ O, U ∪ V = X so ist U ∩ V 6= ∅
Lemma 1
Sei I ⊂ R ein Intervall mit der Teilraum-Topologie.
Dann ist I Zusammenhängend
Beweis Falls I nicht zusammenhängend, so
∃U, V ⊂ I offen, mit U ∪ V = I, U ∩ V = ∅, U 6= ∅ =
6 V
Sei also u ∈ U, v ∈ V OBdA u < v
s := inf{x ∈ V |x > u} ≥ u ⇒ s ∈ I = U ∩ V
⇒s ∈ U oder s ∈ V
Da U und V offen in I ist s innerer Puntk von U bzw von V
s kann nicht Innerer Punkt von U sein weil jede Umgebung von S Punkte von V
enthällt und U ∩ V = ∅
s kann nicht innerer Punkt von V sein weil es sonst nicht das Infimum der Besagten
Menge wäre.