¨Ubungen zur Einführung in die Topologie Mathematisches Institut

Übungen zur Einführung in die Topologie
Blatt 1
keine Abgabe
Mathematisches Institut
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Dr. Thorsten Weist
Aufgabe 1
Betrachten Sie folgende Definitionen eines topologischen Raumes und zeigen Sie, dass
diese gleichwertig zu der aus der Vorlesung ist:
a) Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, A) bestehend aus einer Menge X und einer
Teilmenge A ⊂ P(X), den abgeschlossenen Mengen, so dass gilt
a) X, ∅ sind abgeschlossen
b) Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen
c) Die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen
b) Ein topologischer Raum ist ein Paar (X,¯¯) bestehend aus einer Menge X und einer
Abbildung ¯¯ : P(X) → P(X), so dass gilt
a) ∅ = ∅
b) U ⊂ U für alle U ⊂ X
c) U = U für alle U ⊂ X
d) U ∪ V = U ∪ V für alle U, V ⊂ X
Aufgabe 2
Sei X ein topologischer Raum und A0 die Menge aller nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen A ⊂ X. Für offene Mengen U1 , . . . , Un definiere
VU1 ,...,Un = {A ∈ A0 | A ∩ Ui 6= ∅ für alle 1 ≤ i ≤ n, A ⊂
n
[
Ui }.
i=1
Zeigen Sie, dass diese Teilmengen eine Basis einer Topologie auf A0 , der sogenannten
Vietoris-Topologie“, definieren.
”
Aufgabe 3
a) Sei (X, d) ein metrischer Raum mit der Standardtopologie. Zeigen Sie, dass die
durch die Einschränkung der Metrik d auf Y definierte Topologie auf Y mit der
Teilraumtopologie auf Y übereinstimmt.
b) Zeigen Sie, dass die Standardtopologie auf Rn mit der von R induzierten Produkttopologie auf Rn übereinstimmt.
Aufgabe 4
Sei X ein topologischer Raum und Y ⊂ X. Zeigen Sie:
a) Es gilt
Y =
\
A.
Y ⊂A
A abgeschlossen
Außerdem ist Y genau dann abgeschlossen, wenn Y = Y .
b) Es gilt Y = Y ∪ ∂Y .
Aufgabe 5
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
a) Ist (X, d) ein metrischer Raum und X eine endliche Menge, so ist die von d induzierte Topologie Td die diskrete Topologie.
b) Ist X eine Menge und T eine Topologie auf X, so definiert auch A = {U ⊂ X |
U abgeschlossen} eine Topologie auf X.
c) Ist X eine endliche Menge und T eine Topologie auf X, so definiert auch A = {U ⊂
X | U abgeschlossen} eine Topologie auf X.
d) Betrachten Sie den R2 mit der euklidischen Norm und der Metrik definiert durch
(
0 , falls x = y
d(x, y) :=
||x|| + ||y|| , falls x 6= y
Dann ist jeder Punkt x ∈ R2 offen bzgl. der durch die Metrik induzierte Topologie.