Seminar 2+3 (18.04.2013) Korrigiert!

13-18-04 Seminar 2 Zusammenfassung
von Sebastian Müller
Kompaktifizierung von C
Zur Wiederholung festigen wir nochmal den Begriff des topologischen Raumes:
Definition (topologischer Raum)
Ein topologischer Raum (X, τ ) ist eine Tupel bestehend aus einer Menge X und einer Topologie τ ⊆ 2X . Eine Topologie ist dabei ein Mengensystem welches folgende Eigenschaften
erfüllt:
1. ∅, X ∈ τ
2. Sei (σι )ι∈J ⊆ τ eine beliebige Familie von Mengen. Dann gilt:
[
σι ∈ τ
ι∈J
3. Sei (σi )ni=1 ⊆ τ eine endliche Familie von Mengen. Dann gilt:
n
\
σi ∈ τ
i=1
Man nennt einen topologischen Raum “hausdorffsch”, wenn gilt:
∀x,y∈X ∃σx ,σy ∈τ x ∈ σx , y ∈ σy , σx ∩ σy = ∅
Bemerkung
Man beachte, dass in einem metrischen Raum diese Bedingungen genau von den offenen Mengen erfüllt werden! Deswegen nennt man die Elemente der Topologie auch allgemein “offene
Mengen”. Für einen metrischen Raum betrachtet man dann immer die Standardtopologie der
offenen Mengen. Also für (X, ρ) metrischer Raum:
τρ := {O ⊆ X | O offen bezüglich ρ}
Damit ist ein metrischer Raum immer hausdorffsch, da man immer ε-Umgebungen findet, die
2 Punkte von einander trennen1 . Wir gehen im folgenden immer von hausdorffschen Räumen
aus.
Man sagt weiter, dass zwei Metriken ρ1 , ρ2 auf X die selbe Topologie erzeugen, wenn:
τρ1 = τρ2
Das heißt, dass es in jeder ε-Umgebung der einen Metrik eine δ-Umgebung der anderen gibt.
Also:
∀x∈X ∀ε>0 ∃δ>0 Uδρ2 (x) ⊂ Uερ1 (x)
∀x∈X ∀ε>0 ∃δ>0 Uδρ1 (x) ⊂ Uερ2 (x)
1
z.B. ε =
ρ(x,y)
3
1
Definition (Kompaktheit)
Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt kompakt, falls aus jeder offenen Überdeckung:
(σι )ι∈J ⊆ τ beliebige Familie mit
[
σι = X
ι∈J
eine endliche Überdeckung (σιi )ni=1 ⊆ (σι )ι∈J ausgewählt werden kann, sodass:
n
[
σι = X
i=1
Damit kommt man jetzt zum Begriff der Kompaktifizierung eines topologischen Raumes:
Definition (Einpunktkompaktifizierung)
Sei (X, τ ) ein beliebiger topologischer Raum. Man definiert die Erweiterung (X ∗ , τ ∗ ) von X
mit:
X ∗ := X ∪˙ {ω}
n
τ ∗ := τ ∪ K C ∪ {ω} K ⊆ X kompakt
o
Die Einbettung ϕ : X → X ∗ heißt auch Alexandroff-Erweiterung von X.
Satz
X ∗ ist kompakt.
Beweis: Sei (σι )ι∈J ⊆ τ ∗ eine beliebige Überdeckung von X ∗ . Dann gibt es ein ι0 ∈ J mit:
ω ∈ σι0
Damit gilt nun:
K := σιC0 ist kompakt in X
Damit folgt also, dass (σι )ι∈J eine Überdeckung von K ist. Da K kompakt ist, gibt es
eine endliche Überdeckung (σιi )ni=1 ⊆ (σι )ι∈J mit:
K⊆
n
[
σιi
i=1
Das heißt aber:
X = σι0 ∪ K =
n
[
σιi
i=0
Somit ist X kompakt.
Kompaktifizierung von C
Man betrachte (C, |·|) die komplexen Zahlen mit der euklidischen Metrik und der dadurch
induzierten Topologie τ der offenen Mengen.
Mit obiger Methode kompaktifiziert man nun C durch Hinzunahme des Punktes ∞, man
schreibt:
C∞ := (C∗ , τ ∗ )
Man beachte, dass die Metrik auf C∞ “erweitert” werden müsste. Dies funktioniert mit:
∀z∈C |z − ∞|
=
∞
1
∪ {∞} = U 1 (0)C
Uε (∞) :=
z ∈ C | |z| >
ε
ε
∗
Damit sind die Elemente von τ wieder genau die offenen Mengen.
2
Chordale Metrik
Mittels der stereographischen Projektion:
π : C∞ → S 2 ⊂ C × R ' R3
1
2
2z,
|z|
−
1
z 7→
1 + |z|2
∞ 7→ (0, 1)
kann man auf C∞ die Chordale-Metrik definieren:
χ (z, w) : = kπ (z) − π (w)k2
2 |z − w|
q
= q
2
1 + |z| 1 + |w|2
2
χ (z, ∞) = q
1 + |z|2
Damit ist die ε-Umgebung hier:
Uεχ (z) := {w ∈ C∞ | χ (z, w) < ε}
Beachtenswert ist, dass es sich bei diesen Umgebungen wieder um Kreise handelt. Allerdings
ist z nicht der “Mittelpunkt” im geometrischen Sinne.
Nun ist es interessant, dass die durch die chordale Metrik erzeugte Topologie τχ genau τ ∗ ist.
Also ist (C∞ , χ) ein vollständiger kompakter metrischer Raum.
Beispiele:
χ
1. Betrachten wir U√
(∞). Geometrisch haben wir dann genau die obere Halbsphäre,
2
√
da die Diagonal genau die Länge 2 hat. Die obere Halbsphäre ist aber unter der
stereographischen Projektion alles außerhalb der Einheitskreisscheibe. Also:
C
χ
U√
(∞) = D = {z ∈ C | |z| > 1} = U1 (∞)
2
χ
2. Andererseits erhalten wir für U√
(0):
2
χ
U√
(0) = U1 (0) = D̊
2
χ
3. Für U√
(−1) erhält man die linke Halbsphäre, was in der Projektion genau die linke
2
Halbebene ist:
χ
U√
(−1) = {z ∈ C | Rez < 0}
2
4. Nun etwas Interessanteres. Betrachten wir U1χ (1). Macht man bei der stereographischen
Projektion einen Schnitt entlang der Realteil-Achse durch die Riemannsche Zahlenkugel, so erhält man auf dem entstanden Kreis 2 Punkte mit Abstand 1 zum Punkt
(1, 0, 0):
√ !
√ !
1
3
1
3
, 0,
, 0, −
2
2
2
2
3
Damit haben wir in C die Punkte:
π
−1
π −1
√ !
1
√
1
3
2√
, 0,
=
=2+ 3
2
2
1 − 23
√ !
√
3
1
, 0, −
= 2− 3
2
2
Wir erhalten einen Kreis mit Mittelpunkt auf der reellen Achse, der diese beiden Punkte
enthält. Der Mittelpunkt ist:
m = 2
Der Radius ist:
r =
√
3
Somit haben wir:
U1χ (1) = U√3 (2)
iR
U1 (1)
U1χ (1)
R
4