Geometrie und Topologie von Flächen (Kotschick)

Geometrie und Topologie von Flächen (Kotschick)
Mitgeschrieben von Bernhard Weiß
Mitschrift aus dem SoSe 2009
1
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
I
1
1
Topologische Räume
Definition 1
Ein topologischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Teilmenge O ⊂ P(X)
sodass gilt:
1. Xi ∈ O, i ∈ I ⇒
S
Xi ∈ O
2. X1 , X2 ∈ O ⇒ X1 ∩ X2 ∈ O
3. ∅, X ∈ O
Die Elemente von O heißen offene Mengen
Beispiel 1
1. X beliebig, O = P(x) die diskrete Topologie
2. X beliebig, O = {∅, X} die indiskrete Topologie
3. X = {p1 , p2 , p3 }, O = {∅, {p1 , }, {p1 , p2 }, X}
4. X = Rn , U ∈ O genau dann wenn U im Sinne der Analysis offen in Rn ist, d.h.
∀p ∈ U ∃ > 0, sodass B (p) = {q ∈ Rn | |p − q| < } ⊂ U
5. X ein metrischer Raum U ∈ O offen ⇔∀p ∈ U ∃ > 0, sodass
B (p) = {q ∈ X|d(p, q) < } ⊂ U
Definition 2
Ein Metischer Raum ist ein Paar (X, d), X eine Menge und d : X × X → R sodass:
1. d(p, q) ≥ 0 mit gleichheit genau dann wenn p = q
2. d(p, q) = d(q, p)
3. d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
Bemerkung 1
Beispiel 5. definiert auf jedem metrischen Raum eine Topologie, die metrische Topologie.
Beispiel 2
d(p,q)
(X, d) metrischer Raum, dann definiere d1 (p, q) := 1+d(p,q)
dann ist (X, d1 ) ein metrischer Raum, und die metrischen Topologien von (X, d) und
(X, d1 ) stimmen überein.
Definition 3
Seien (X, Ox ), (Y, Oy ) topologischer Räume
Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig :⇔ f −1 (U ) ∈ Ox ∀U ∈ OY
2
1 TOPOLOGISCHE RÄUME
Bemerkung 2
Für metrische Räume mit den metrischen Topologien stimmt diese Definition mit der
/δ Definition aus der Analysis überein.
Definition 4
(X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume
Eine Abbildung f : X → Y heißt Homäomorphismus , wenn f bijektiv ist und f, f −1
stetig sind.
Bemerkung 3
Topologiche Eigenschaften sind solche Eigenschaften, die invariant unter Homäomorphismen sind.
Definition 5
Sei (X, OX ) ein topologischer Raum, Y ⊂ X
Dann ist die Teilraumtopologie von Y definiert durch:
OY := {U ⊂ Y |∃V ∈ Ox : V ∩ Y = U }
Bemerkung 4
1. (Y, OY ) erfüllt die Eigenschaften in der Definition eines Topologischen Raumes.
2. Die Inklusion i : Y ,→ X ist stetig bzgl. Ox , OY
Bemerkung 5
Stetigkeit von f : X → Y hängt von OX , → OY ab.
Z.b. ist OX die diskrete Topologie auf X, so ist jedes f stetig unabhängig von (Y, OY )
Ein weiteres Beispiel: Ist OY die indiskrete Topologie auf Y, dann ist jedes f : X → Y
stetig, unabhängig von (X, OX )
(X, d)
Bemerkung
6 →
↓
(Y, d|Y ×Y )
↓
Dies sind zwei arten (Y, OY ) zu definieren,
teilraumT opologie
(X, OX )
−→
(Y, OY )
wenn Y ⊂ X, (X, d) metrischer Raum
Definition 6
(X, OX ), (Y, O`
Y ) zwei topologische Räume
X + Y = X Y die topologische
Summe`oder disjunkte Vereinigung hat als zu`
grundeliegende Menge X Y und U ⊂ X Y ist offen genau dann wenn U ∩ X ∈
Ocalx , U ∩ Y ∈ OY