Einige Grundbegriffe der Topologie

Einige Grundbegriffe der Topologie
Eine empfehlenswerte Einführung in die Topologie ist das Buch von K.Jänich [J].
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge X und einem System
T von Teilmengen von X, so dass gilt:
(1) X und ∅ sind in T ,
(2) der Durchschnitt von endlich vielen und die Vereinigung von beliebig vielen Mengen aus T
ist wieder in T .
Ein solches Teilmengensystem T nennt man eine Topologie von X. Die Elemente von T heißen
offene Teilmengen von X. Eine Menge A ⊂ X ist abgeschlossen in X genau dann, wenn ihr
Komplement offen ist.
Eine Basis von T ist eine Teilmenge B ⊂ T , so dass für jede offene Menge V ∈ T gilt
S
V = i∈I Vi mit Vi ∈ B.
Übung: Rn und Cn haben eine abzählbare Basis.
Sei x ∈ X. Eine Teilmenge U ⊂ X heißt Umgebung von x ∈ X, wenn es eine offene Menge
V gibt mit x ∈ V ⊂ U . Ein topologischer Raum erfüllt das Hausdorffsche Trennungsaxiom
oder ist hausdorffsch, wenn zu je zwei verschiedenen Punkten disjunkte, offene Umgebungen
existieren.
Eine Teilmenge Y ⊆ X eines topologischen Raumes ist selbst wieder ein topologischer Raum
versehen mit der Teilraum-Topologie: Eine Menge U ⊆ Y ist offen genau dann, wenn es eine
offene Menge V von X gibt mit V ∩ Y = U .
Übung: Sei X hausdorffsch mit abzählbarer Basis. Dann ist jeder Teilraum Y ⊂ X ebenfalls
hausdorffsch mit abzählbarer Basis.
Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen, f : X −→ Y , heißt stetig, falls die Urbilder
von offenen Mengen in Y offen sind in X. Die Abbildung f : X −→ Y heißt offen, falls Bilder von
offenen Mengen in X offen sind in Y . Eine bijektive Abbildung f : X −→ Y , für die sowohl f als
auch ihre Umkehrabbildung f −1 : Y −→ X stetig sind, heißt Homöomorphismus.
Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge X und einer Abbildung
d : X × X −→ R, so dass für alle x, y, z ∈ X gilt:
(1) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(2) d(x, y) = d(y, x),
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Ein metrischer Raum (X, d) ist auch ein topologischer Raum. Die Topologie wird wie folgt
definiert: eine Menge O ⊂ X ist offen, falls für alle p ∈ O ein ε = ε(p) > 0 existiert, so dass der
(offene) Ball um p mit Radius ε ganz in O enthalten ist: Bε (p) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ O.
Eine Teilmenge Y ⊆ X eines topologischen Raumes heißt kompakt, wenn jede Überdeckung
von Y durch offene Mengen eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn er sich nicht in zwei nichtleere,
disjunkte, offene Teilmengen zerlegen lässt (oder, äquivalent, wenn X und ∅ die einzigen zugleich
offenen und abgeschlossenen Teilmengen sind).
Übung: Stetige Bilder von kompakten Mengen sind kompakt. Stetige Bilder von zusammenhängenden Mengen sind zusammenhängend.
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Seien X und Y topologische Räume. Eine Teilmenge W ⊆ X ×Y heißt offen in der ProduktTopologie, wenn es zu jedem Punkt (x, y) ∈ W Umgebungen U von x in X und V von y in Y
gibt, so dass U × V ⊆ W .
Sei X ein topologischer Raum und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Wir bezeichnen mit
[x] := {y ∈ X| y ∼ x} die Äquivalenzklasse von x. Weiter bezeichne X/ ∼ die Menge der
Äquivalenzklassen und π : X −→ X/ ∼; x 7→ [x] die natürliche Projektion. Die QuotientenTopologie auf X/ ∼ ist so definiert: U ⊂ X/ ∼ ist offen genau dann, wenn π −1 (U ) offen ist in X
(π ist dann stetig).
Übung: Sei X = R und x ∼ y genau dann, wenn x − y ∈ Z. Es gilt: R/ ∼ ist homöomorph zu
S = {z ∈ C | |z| = 1}.
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Lemma 1. Falls π : X −→ X/ ∼ offen ist und X eine abzählbare Basis hat, so hat auch der
Quotientenraum X/ ∼ eine abzählbare Basis.
Beweis. Sei {Ui } eine abzählbare Basis von offen Mengen von X. Ist W eine offene Teilmenge
von X/ ∼, dann ist π −1 (W ) offen in X (nach Definition der Quotienten-Topologie). Also π −1 (W ) =
S
S
−1
(W )) = j∈J π(Uj ). Somit ist {π(Ui )} eine
j∈J Uj für eine Teilfamilie von {Ui } und W = π(π
Basis aus offenen Mengen von X/ ∼.
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Lemma 2. Sei π : X −→ X/ ∼ offen. Ist R := {(x, y) ∈ X × X|x ∼ y} eine abgeschlossene
Teilmenge von X × X, so ist der Quotientenraum X/ ∼ hausdorffsch.
Beweis. Sind π(x) und π(y) zwei verschiedene Punkte in X/ ∼, so ist (x, y) ∈
/ R. Da das
Komplement von R offen ist in X × X existiert eine offene Menge Ũ × Ṽ ⊂ X × X, welche (x, y)
enthält und R nicht trifft, d.h. U := π(Ũ ) und V := π(Ṽ ) sind disjunkt. Da nach Voraussetzung
π offen ist, sind U und V offen. Da π(x) ∈ U und π(y) ∈ V ist X/ ∼ hausdorffsch.
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Satz von der Gebietstreue: Ist U ⊆ Rn offen und f : U −→ Rn eine injektive und stetige
Abbildung, so ist f (U ) ⊂ Rn auch offen.
Einen Beweis dieses Satzes von Brouwer findet man in [AH] Kap. X.2
Korollar 1 Für m 6= n ist Rm nicht homöomorph zu Rn .
Beweis-Skizze. Ist etwa m < n so ist (x1 , . . . , xm ) 7−→ (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0) eine injektive,
stetige Abbildung von Rm auf eine nicht offene Teilmenge von Rn . Wäre nun Rm homöomorph zu
Rn , so hätte man einen Widerspruch zum Satz von der Gebietstreue.
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Literatur
[AH] P. Alexandroff, H. Hopf, Topologie I, Springer Verlag, 1935.
[J]
K. Jänich, Topologie, 4. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[F]
L. Führer, Topologie , Vieweg Verlag, 1977.
[O]
E. Ossa, Topologie , Vieweg-Studium, 1992.
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