7. ¨Ubung zur Vorlesung Topologie I (Sommersemester 2010) C

7. Übung zur Vorlesung
Topologie I (Sommersemester 2010)
C. Lange, H. Siebert, R.-S. Kroll
Abgabe am 4. Juni 2010.
1. Aufgabe:
Ein topologischer Raum (X, O) heißt vollständig normal, falls jeder Teilraum von X normal ist.
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) X ist vollständig normal.
(b) Jeder offene Teilraum von X ist normal.
(c) X ist ein T1 -Raum und es gilt: erfüllen Teilmengen A, B ⊆ X die Bedingungen A ∩ B = ∅
und A ∩ B = ∅, so existieren disjunkte offene Umgebungen von A und B.
2. Aufgabe:
Ein topologischer Raum (X, O) ist genau dann ein T4 -Raum, wenn für alle abgeschlossenen
Teilmengen A ⊆ X und alle offenen Mengen Q ⊆ X mit A ⊆ Q eine offene Menge U mit
A ⊆ U ⊆ U ⊆ Q existiert.
3. Aufgabe:
Sei (G, OG , ·) eine topologische Gruppe1.
(a) Ist H eine Untergruppe von G, so sind Hund H topologische Gruppen.
(b) Für jedes γ ∈ G ist `γ : G −→ G mit `γ (g) = γ · g ein Homöomorphismus.
(c) Für Gruppenelemente x 6= y gibt es eine Umgebung V von e, so dass V · {x} und V · {y}
disjunkt sind. Insbesondere ist jede topologische Gruppe hausdorffsch.
4. Aufgabe:
Ziel der Aufgabe ist es, nachzuweisen, dass jede topologische Gruppe1 vollständig regulär ist.
Dazu betrachten wir die folgende Beweisskizze.
Angenommen für i ∈ N0 gibt es Umgebungen Vi von e mit Vi+1 · Vi+1 ⊆ Vi . Schreibe p ∈]0; 1] als
dyadischen Bruch, d.h. p = 2kn für natürliche Zahlen k und n, und definere die offenen Mengen
U (p) induktiv: Starte mit U (1) := V0 und U ( 12 ) := V1 . Ist U ( 2kn ) für n ∈ N definiert, so setze
für 0 < k ≤ 2n
1
U ( 2n+1
) = Vn+1
und
U ( 2k+1
) = Vn+1 · U ( 2kn ).
2n+1
Setze U (p) := ∅ für p ≤ 0 und U (p) := G für p > 1. Angenommen, es gilt Vn · U ( 2kn ) ⊆ U ( k+1
2n )
für alle ganzen Zahlen k und n. Dann können wir die Behauptung wie im Beweis zum Lemma
von Urysohn folgern.
Zeige nun, dass tatsächlich
Vn · U ( 2kn ) ⊆ U ( k+1
2n )
für alle ganzen Zahlen k und n gilt.
1Eine topologische Gruppe ist eine Menge G, auf der sowohl eine Topologie O als auch eine GruppenG
verknüpfung · gegeben ist, so dass die beiden Abbildungen
· : G × G −→ G, (g, h) 7−→ g · h
und
inv : G −→ G, g 7−→ g −1
stetige Abbildungen sind und (G, OG ) ein T1 -Raum ist. Das neutrale Element
Für A, B ⊆ G
˛ e bezeichnet.
˘ sei mit
¯
bezeichnet A · B die Menge {a · b | a ∈ A und b ∈ B} und A−1 die Menge a−1 ˛ a ∈ A .