Hausübung zur Vorlesung Topologie

Hausübung zur Vorlesung
Topologie
René Bartsch, Lorenz von Below
Sommersemester 2013, HA 3
Aufgabe 3.1 ( T4 + R0 =⇒ T3 )
Zeige, daß jeder topologische Raum (X , τ), der sowohl T4 als auch R0 erfüllt, ein T3 -Raum ist.
Aufgabe 3.2 ( T4 nicht erblich)
Gib ein Beispiel für einen T4 -Raum und einen Teilraum darin, welcher nicht T4 ist. Zeige, daß
jede abgeschlossene Teilmenge eines T4 -Raumes als Teilraum T4 ist.
Aufgabe 3.3 (pseudometrische Räume T4 )
Zeige, daß jeder pseudometrische Raum ein T4 -Raum ist.
Aufgabe 3.4 (spezieller Teilraum)
(1) Zeige, daß jeder unendliche Hausdorff-Raum einen unendlichen diskreten Teilraum hat.
(2) Sei (X , τ) ein unendlicher T1 -Raum. Zeige, daß es eine unendliche Teilmenge M von X
gibt, deren Spurtopologie bezüglich τ die diskrete oder die kofinite Topologie auf M ist.
Aufgabe 3.5 (abzählbare Variation der „A ⊆ V ⊆ V ⊆ X \ B “ - Charakterisierung von T4 )
Zeige: Ein topologischer Raum (X , τ) ist genau dann ein T4 -Raum, wenn es zu je zwei disjunkten
abgeschlossenen Teilmengen A, B ⊆ X eine abzählbare Familie {Un | n ∈ IN } ⊆ τ offener Mengen
derart gibt, daß
S
(1) A ⊆ n∈IN Un und
(2) ∀n ∈ IN : Un ∩ B = ;
gelten.
Aufgabe 3.6 (Verallgemeinerung von Aufgabe 3.2)
S
Folgere aus Aufgabe 3.5: Ist (X , τ) ein T4 -Raum und C := n∈IN Cn Vereinigung der abgeschlossenen Teilmengen Cn ⊆ X , n ∈ IN , dann ist (C, τ|C ) ebenfalls ein T4 -Raum.
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