Serie 7 - D-MATH

D-MATH
Theo Bühler
Topologie
FS 15
Serie 7
1. Abgeschlossene Mengen in Unterräumen. Sei (X, τX ) ein topologischer Raum und
Y ⊆ X ein Unterraum.
a) Eine Teilmenge A von Y ist genau dann abgeschlossen, wenn es eine abgeschlossene Menge F ⊆ X gibt mit A = F ∩ Y .
b) Für A ⊆ Y ist der Abschluss clY (A) in Y durch clY (A) = Y ∩ clX (A) gegeben.
c) Ist Y abgeschlossen und A ⊆ Y , dann ist A abgeschlossen in Y genau dann,
wenn A in X abgeschlossen ist.
2. Trennungsaxiome in Unterräumen, I
a) Sei (X, τX ) ein Tn -Raum, wobei n ∈ {0, 1, 2, 3, 3 12 }. Ist Y ⊆ X irgendein Unterraum, dann ist Y auch ein Tn -Raum.
b) Ist X ein T4 -Raum und Y ⊆ X abgeschlossen, dann ist Y auch ein T4 -Raum.
Bemerkung: Wir werden später Beispiele sehen, die zeigen, dass die Abgeschlossenheit von Y nicht weggelassen werden kann.
3. Trennungsaxiome und Produkte. Sei {XQ
i }i∈I eine beliebige Familie von Tn -Räumen,
wobei n ∈ {0, 1, 2, 3, 3 12 }. Dann ist X = i∈I Xi auch ein Tn -Raum.
4. Eindeutige Erweiterung von stetigen Funktionen.
a) Sei D ⊆ X eine dichte Teilmenge, d.h. D = X, und sei f : D → Y eine stetige
Funktion in einen Hausdorffraum Y . Gibt es eine stetige Erweiterung f˜: X → Y
von f , so ist diese eindeutig.
[Äquivalent dazu: eine stetige Funktion f˜: X → Y ist durch ihre Einschränkung
f = f˜|D eindeutig bestimmt.]
b) Sei D ⊆ X eine dichte Teilmenge eines metrischen Raums, Y sei ein vollständiger metrischer Raum, und f : D → Y sei gleichmässig stetig. Dann existiert
eine stetige Erweiterung von f auf ganz X.
Hinweis: Gleichmässig stetige Funktionen bilden Cauchy-Folgen auf CauchyFolgen ab.
Bitte wenden!
5. Jones’s Lemma. Sei (X, τX ) ein topologischer Raum. Ist X separabel und gibt es
einen abgeschlossenen diskreten Unterraum der Kardinalität c, so ist X nicht normal.
a) Da X separabel ist, gibt es höchstens c verschiedene stetige Funktionen X → R.
b) Wäre X normal, so könnte man mit Hilfe von Tietze’s Erweiterungssatz 2c verschiedene stetige Funktionen X → R konstruieren.
c) Die Sorgenfrey-Ebene (R, τS ) × (R, τS ) ist nicht normal.
Bemerkung: Die Sorgenfrey-Gerade ist normal (wir werden dies später sehen),
also sind Produkte von T4 -Räumen im allgemeinen nicht mehr T4 .
d) Verallgemeinere: ist d(X) ≤ κ und gibt es einen abgeschlossenen diskreten Unterraum D mit #D ≥ 2κ , dann ist X nicht normal.
6. Vollständig regulär, aber nicht normal. Die Sorgenfrey-Ebene erfüllt das Trennungsaxiom T3 1 , aber nicht das Trennungsaxiom T4 .
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7. Kardinalinvarianten von metrischen Räumen. Sei (X, d) metrischer Raum, und sei
κ eine unendliche Kardinalzahl. Folgende Aussagen über X sind äquivalent:
a) Es gibt eine Basis mit höchstens κ Elementen.
b) Jede offene Überdeckung von X hat eine Teilüberdeckung mit höchstens κ Elementen.
c) Jede abgeschlossene diskrete Teilmenge hat Kardinalität ≤ κ.
d) Jede diskrete Teilmenge hat Kardinalität ≤ κ.
e) Jede Familie von paarweise disjunkten offenen Mengen hat Kardinalität ≤ κ.
f) Es gibt eine dichte Teilmenge mit Kardinalität κ.
Hinweise: Die Aussagen sind so angeordnet, dass die nächste relativ einfach aus der
vorherigen folgt. Mehrere Implikationen benötigen dasSAuswahlaxiom in der einen
oder anderen Form. Eine abzählbare Vereinigung D = n Dn von Mengen mit Kardinalität #Dn ≤ κ hat selbst #D ≤ κ.
“c) =⇒ d)”: Zeige zuerst,
S dass eine diskrete Menge D offen ist in ihrem Abschluss,
und schreibe dann D = n Dn für eine abzählbare Familie von in D abgeschlossenen
Mengen Dn . Aus c) folgt #Dn ≤ κ.
“e) =⇒ f)”: Für jedes n wähle Dn so, dass Dn eine maximale MengeS
(bezüglich
1
Inklusion) mit der Eigenschaft d(x, y) ≥ n für alle x 6= y ist. Zeige, dass Dn dicht
ist in X.
Abgabe: Mittwoch, 22. April 2015, in der Übungsstunde