D-MATH Theo Bühler Topologie FS 15 Serie 7 1. Abgeschlossene Mengen in Unterräumen. Sei (X, τX ) ein topologischer Raum und Y ⊆ X ein Unterraum. a) Eine Teilmenge A von Y ist genau dann abgeschlossen, wenn es eine abgeschlossene Menge F ⊆ X gibt mit A = F ∩ Y . b) Für A ⊆ Y ist der Abschluss clY (A) in Y durch clY (A) = Y ∩ clX (A) gegeben. c) Ist Y abgeschlossen und A ⊆ Y , dann ist A abgeschlossen in Y genau dann, wenn A in X abgeschlossen ist. 2. Trennungsaxiome in Unterräumen, I a) Sei (X, τX ) ein Tn -Raum, wobei n ∈ {0, 1, 2, 3, 3 12 }. Ist Y ⊆ X irgendein Unterraum, dann ist Y auch ein Tn -Raum. b) Ist X ein T4 -Raum und Y ⊆ X abgeschlossen, dann ist Y auch ein T4 -Raum. Bemerkung: Wir werden später Beispiele sehen, die zeigen, dass die Abgeschlossenheit von Y nicht weggelassen werden kann. 3. Trennungsaxiome und Produkte. Sei {XQ i }i∈I eine beliebige Familie von Tn -Räumen, wobei n ∈ {0, 1, 2, 3, 3 12 }. Dann ist X = i∈I Xi auch ein Tn -Raum. 4. Eindeutige Erweiterung von stetigen Funktionen. a) Sei D ⊆ X eine dichte Teilmenge, d.h. D = X, und sei f : D → Y eine stetige Funktion in einen Hausdorffraum Y . Gibt es eine stetige Erweiterung f˜: X → Y von f , so ist diese eindeutig. [Äquivalent dazu: eine stetige Funktion f˜: X → Y ist durch ihre Einschränkung f = f˜|D eindeutig bestimmt.] b) Sei D ⊆ X eine dichte Teilmenge eines metrischen Raums, Y sei ein vollständiger metrischer Raum, und f : D → Y sei gleichmässig stetig. Dann existiert eine stetige Erweiterung von f auf ganz X. Hinweis: Gleichmässig stetige Funktionen bilden Cauchy-Folgen auf CauchyFolgen ab. Bitte wenden! 5. Jones’s Lemma. Sei (X, τX ) ein topologischer Raum. Ist X separabel und gibt es einen abgeschlossenen diskreten Unterraum der Kardinalität c, so ist X nicht normal. a) Da X separabel ist, gibt es höchstens c verschiedene stetige Funktionen X → R. b) Wäre X normal, so könnte man mit Hilfe von Tietze’s Erweiterungssatz 2c verschiedene stetige Funktionen X → R konstruieren. c) Die Sorgenfrey-Ebene (R, τS ) × (R, τS ) ist nicht normal. Bemerkung: Die Sorgenfrey-Gerade ist normal (wir werden dies später sehen), also sind Produkte von T4 -Räumen im allgemeinen nicht mehr T4 . d) Verallgemeinere: ist d(X) ≤ κ und gibt es einen abgeschlossenen diskreten Unterraum D mit #D ≥ 2κ , dann ist X nicht normal. 6. Vollständig regulär, aber nicht normal. Die Sorgenfrey-Ebene erfüllt das Trennungsaxiom T3 1 , aber nicht das Trennungsaxiom T4 . 2 7. Kardinalinvarianten von metrischen Räumen. Sei (X, d) metrischer Raum, und sei κ eine unendliche Kardinalzahl. Folgende Aussagen über X sind äquivalent: a) Es gibt eine Basis mit höchstens κ Elementen. b) Jede offene Überdeckung von X hat eine Teilüberdeckung mit höchstens κ Elementen. c) Jede abgeschlossene diskrete Teilmenge hat Kardinalität ≤ κ. d) Jede diskrete Teilmenge hat Kardinalität ≤ κ. e) Jede Familie von paarweise disjunkten offenen Mengen hat Kardinalität ≤ κ. f) Es gibt eine dichte Teilmenge mit Kardinalität κ. Hinweise: Die Aussagen sind so angeordnet, dass die nächste relativ einfach aus der vorherigen folgt. Mehrere Implikationen benötigen dasSAuswahlaxiom in der einen oder anderen Form. Eine abzählbare Vereinigung D = n Dn von Mengen mit Kardinalität #Dn ≤ κ hat selbst #D ≤ κ. “c) =⇒ d)”: Zeige zuerst, S dass eine diskrete Menge D offen ist in ihrem Abschluss, und schreibe dann D = n Dn für eine abzählbare Familie von in D abgeschlossenen Mengen Dn . Aus c) folgt #Dn ≤ κ. “e) =⇒ f)”: Für jedes n wähle Dn so, dass Dn eine maximale MengeS (bezüglich 1 Inklusion) mit der Eigenschaft d(x, y) ≥ n für alle x 6= y ist. Zeige, dass Dn dicht ist in X. Abgabe: Mittwoch, 22. April 2015, in der Übungsstunde