Allgemeine Topologie - TU Darmstadt/Mathematik

Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Klaus Keimel
Alexander Rohr
Sommersemester 2002
3. Mai 2002
3. Übung zur Veranstaltung
Allgemeine Topologie
Gruppenübungen
Skript Abschnitt 3
Aufgabe 23 (Abschluß, Inneres und Rand)
Welche der folgenden Aussagen ist für Teilmengen A, B eines topologischen Raumes X stets
richtig? Beweis oder Gegenbeispiel!
A∪B =A∪B
∂A = ∂(X \ A)
A∩B =A∩B
o
(A) = A
o
X \A=X \A
X \ A = (X \ A)o
Aufgabe 24 (Subbasen)
Finde mehrere möglichst unterschiedliche Subbasen für die übliche Topologie der reellen Zahlen.
Aufgabe 25 (Basen und Subbasen)
Welche der folgenden Mengensysteme bilden eine Basis bzw. Subbasis der üblichen Topologie auf
R2 ?
Subbasis
Basis
Die Menge der offenen Kugeln mit Radius n1 (n ∈ N)
um Punkte (x, y) ∈ Q × Q
die Menge der offenen Halbebenen der Gestalt
{(x, y) ∈ R2 | x > a}, a ∈ R, und
{(x, y) ∈ R2 | y > b}, b ∈ R
die Menge der offenen Halbebenen der Gestalt
{(x, y) ∈ R2 | x > a}, a ∈ R,
{(x, y) ∈ R2 | x < a0 }, a0 ∈ R,
{(x, y) ∈ R2 | y > b}, b ∈ R, und
{(x, y) ∈ R2 | y < b0 }, b0 ∈ R.
Beschreibe für jede dieser Basen bzw. Subbasen die erzeugte Topologie.
Aufgabe 26 (Abschluß und Inneres von Mengen von Matrizen)
Betrachte den topologischen Raum M(n, R) der reellen n×n-Matrizen mit der üblichen Topologie.
Bestimme den Abschluß und das Innere der folgenden Teilmengen:
• GL(n, R), die Teilmenge der invertierbaren Matrizen;
• O(n), die Teilmenge der orthogonalen Matrizen.
Hausübungen
Skript Abschnitt 3
Aufgabe 27 (Topologie der reellen Zahlen)
Beweise oder widerlege: Jede offene Teilmenge der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie ist
eine
• Vereinigung offener Intervalle;
• abzählbare Vereinigung offener Intervalle.
Ebenso: Jede abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist
• Vereinigung abgeschlossener Intervalle
• abzählbare Vereinigung abgeschlossener Intervalle
Aufgabe 28 (Charakterisierungen der Stetigkeit)
Es seien X und Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung.
a) Es sei x ∈ X und B(f (x)) eine Umgebungsbasis des Bildpunktes. Zeige, daß f stetig im
Punkt x ist, wenn für jede Umgebung U ∈ B(f (x)) das Urbild f −1 (U ) eine Umgebung von
x ist.
b) Es sei A eine Subbasis der abgeschlossenen Mengen von Y . Zeige, daß f stetig ist, wenn für
jede Menge A ∈ A ist das Urbild f −1 (A) abgeschlossen in X.
c) Für einen Punkt x ∈ X sei B(x) eine Umgebungsbasis. Untersuche ob folgende Bedingung
notwendig
und/oder
hinreichend für die Stetigkeit von f im Punkt x ist: das Mengensystem
f (U ) | U ∈ B(x) ist eine Umgebungsbasis des Bildpunktes f (x).
d) Untersuche ob folgende Bedingung notwendig und/oder hinreichend für die Stetigkeit von f
ist: für jede Teilmenge A ∈ X ist das Bild der Abschlußes von A enthalten im Abschluß des
Bildes: f (A) ⊆ f (A).
Aufgabe 29 (Inneres, Abschluß und Rand konvexer Mengen)
Es sei K eine konvexe Teilmenge des Rn mit der üblichen Topologie. Beweise oder widerlege
folgende Behauptungen:
a) Ist x ∈ K ein innerer Punkt und y ∈ K ein Randpunkt, so ist jeder Punkt der Verbindungsstrecke zwischen x und y (außer y selbst natürlich) ein innerer Punkt von K.
b) Jede offene Teilmenge des Rn ist das Innere ihres Abschlusses.
c) Ist K offen und konvex, so ist K das Innere seines Abschlusses.
Aufgabe 30
Ein topologischer Raum X heißt lokal homöomorph zu einem topologischen Raum Y , wenn zu
jedem Punkt x ∈ X eine offene Umgebung U existiert, die homöomorph zu Y ist.
Beweise oder widerlege, daß die 2-Sphäre S2 := {x ∈ R3 | kxk2 = 1} lokal homöomorph zum R2
ist.
Bitte wenden!
Aufgabe 31
Eine Teilmenge D eines topologischen Raums X heißt dicht, wenn ihr Abschluß D gleich X ist.
Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.
Finde je ein Beispiel eines separablen und eines nicht separablen topologischen Raums.
Untersuche, ob die 1-Sphäre S1 := {x ∈ R2 | kxk2 = 1} separabel ist.
Aufgabe 32
Sei X ein topologischer Raum. Beweise oder widerlege:
a) Erfüllt X das zweite Abzählbarkeitsaxiom, so auch das erste.
b) Erfüllt X das zweite Abzählbarkeitsaxiom, so ist X separabel.
c) Ist X metrisch, so gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom.
d) Ist X metrisch, so gilt das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
F e) Ist X metrisch und separabel, so erfüllt X das zweite Abzählbarkeitsaxiom
F f) Ist X überabzählbar und seine Topologie cofinit (d.h. die abgeschlossenen Mengen sind X
und die endlichen Teilmengen), so gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht.