Analysis 2, 4. UE

Analysis 2, 4. UE-Test, Gruppe B
1. Beispiel: Berechnen Sie für die Funktion g(z) =
Z
g(z) dz,
z
z+1
+
z
z−i
γ
wobei γ : [0, 2π] → C mit γ(t) = i + 12 exp(it). Skizze! Begründen Sie Ihre
Antwort!
Lösung: Die Funktionsvorschrift des Weges γ beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt i und Radius 12 , der im positiven Sinn (=gegen den Uhrzeigersinn)
durchlaufen wird und Anfang- und Endpunkt bei 12 + i hat. Wir schreiben
nun
Z
Z
Z
z
z
dz +
dz
g(z) dz =
γ z −i
γ
γ z +1
und betrachten die beiden Integrale getrennt voneinander, wobei wir g1 (z) :=
z
definieren.
z+1 R
z
Auf γ z−i
dz wollen wir die Cauchysche Integralformel anwenden. Um die
Notation wie im Skriptum (Satz 11.8.9) beizubehalten, definieren wir D :=
C, f : D → C, z 7→ z, w := i und ρ := 12 . Die Bedingung Kρ (w) ⊆ D
ist dann klarerweise erfüllt, und der Weg γρ aus dem Satz ist genau unser
gegebener Weg γ. Da jetzt i ∈ Uρ (w) = U 1 (i) gilt, folgt mit der Cauchyschen
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Integralformel
Z
Z
f (ζ)
ζ
1
1
i = f (i) =
dζ =
dζ,
2πi γ ζ − i
2πi γ ζ − i
was unmittelbar
Z
γ
z
dz = −2π
z−i
impliziert.
R
Auf γ g1 (z) dz werden wir den Satz von Morera anwenden. Man beachte
dazu, dass die Funktion g1 als Zusammensetzung holomorpher Funktionen
auf C\{−1} holomorph ist. Das Gebiet U1 (i) ⊆ C\{−1} ist einfach zusammenhängend, und somit folgt aus Satz 11.8.12
Z
g1 (z) dz = 0
γ̃
für alle geschlossenen, achsenparallelen Polygonzüge γ̃, die ganz in U1 (i) verlaufen. Wegen Korollar 11.8.7 gilt dann auch
Z
g1 (z) dz = 0,
γ
1
da der Weg γ auf U1 (i) homotop ist zu beispielsweise dem Polygonzug, der
entsteht, wenn man dem Kreis U 1 (i) ein Quadrat mit achsenparallelen Kan2
ten umschreibt (und den Weg dann entsprechend parametrisiert).
Insgesamt erhalten wir also
Z
Z
Z
z
z
g(z) dz =
dz +
dz = 0 − 2π = −2π.
γ
γ z +1
γ z −i
2. Beispiel: Seien X = {1, 2, 3, 4} und Y = {17, 18}. Weiters sei Y mit der
diskreten Topologie TY = P(Y ) versehen, und seien T1 := {∅, {1, 3}, {2, 4}, X}
sowie T2 := {∅, {2}, {1, 3}, X}. Schließlich sei f : X → Y gegeben durch
f (n) = 17 + [ n−1
] (Gaußklammer)!
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Sind T1 , T2 Topologien? Warum bzw. warum nicht? Für das bzw. die Tj , welche eine Topologie ist bzw. Topologien sind, gebe man an, ob f : (X, Tj ) →
(Y, TY ) stetig ist! Begründung! Bestimmen Sie auch den Abschluss von {3}
bzgl. Tj ! Schließlich gebe man den Umgebungsfilter U(1) von 1 bzgl. Tj und
eine möglichst kleine Filterbasis von U(1) an!
Lösung: Wir prüfen die drei Axiome für T1 nach: (O1) ist laut Definition
erfüllt, da ∅ und X in T1 liegen. Das Axiom (O2) gilt auch, da {1, 3}∩{2, 4} =
∅, der Schnitt jeder offenen Menge mit der leeren Menge immer leer ist und
der Schnitt jeder Menge mit X wieder die Menge selbst ergibt. (O3) gilt nach
ähnlichen Argumenten, wobei man hier {1, 3} ∪ {2, 4} = X beachte. Somit
ist T1 eine Topologie.
Das Mengensystem T2 ist hingegen keine Topologie, da wegen {2} ∪ {1, 3} =
{1, 2, 3} ∈
/ T2 das Axiom (O3) verletzt ist. Man beachte, dass wir somit für
den Rest der Aufgabe die Menge T2 nicht weiter beachten müssen, da (X, T2 )
keinen topologischen Raum darstellt!
Als nächstes wollen wir die Stetigkeit nachprüfen: Nach Satz 12.3.5 ist die Stetigkeit der Funktion f äquivalent dazu, dass f −1 (O) ∈ T1 für jede offene Menge O ∈ TY (d.h. also, dass die Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind).
Es gilt aber nach Definition der Funktion f , dass f −1 ({17}) = {1, 2} ∈
/ T1 ,
womit f nicht stetig ist.
Der Abschluss von {3} ist nach Lemma 12.2.4 die kleinste abgeschlossene
Obermenge, die {3} umfasst. Im topologischen Raum (X, T1 ) sind die abgeschlossenen Mengen gegeben durch A = T1 , was man unmittelbar durch
Komplementbildung von den offenen Mengen einsieht. Somit kommen als
Obermengen von {3} nur die Mengen {1, 3} und X in Frage. Da X allerdings eine echte Obermenge der Menge {1, 3} ist, ist {1, 3} daher die kleinste
abgeschlossene Obermenge, die {3} enthält, und daher folgt {3} = {1, 3}.
Alternativ kann man auch Definition 12.2.3 verwenden und den Durchschnitt
über alle abgeschlossenen Obermengen von {3} bilden. Damit folgt ebenfalls
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{3} = {1, 3} ∩ X = {1, 3}.
Der Umgebungsfilter U(1) von 1 bzgl. T1 ist definiert als die Menge aller Umgebungen von 1, wobei U Umgebung von 1 heißt, wenn es eine offene Menge
O ∈ T1 gibt mit 1 ∈ O ⊆ U . Somit sieht man sofort, dass alle Obermengen
von {1, 3} die gesuchten Umgebungen sind, was
U(1) = {{1, 3}, {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, X}
zeigt.
Ein Mengensystem B ⊆ U(1) heißt Filterbasis von U(1), wenn man zu jeder
Menge U ∈ U(1) ein B ∈ B findet, sodass B ⊆ U . Somit ist klarerweise
B := {{1, 3}} eine Filterbasis von U(1), da {1, 3} ∈ U(1) und {1, 3} ⊆ U für
alle Umgebungen U ∈ U(1). Als einelementige Filterbasis ist diese natürlich
auch die kleinstmögliche, da eine Filterbasis nicht leer sein darf.
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