Aufgaben zur Einführung in die Geometrie und Topologie

Aufgaben zur Einführung in die Geometrie und Topologie
Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer, M. Sc. Felix Boes
Sommersemester 2016
Blatt 3
Abgabetermin: Freitag, den 06.05.16, 08:15 - 12:00 im Raum 0.028 (bei den
Bibliotheksschließfächern)
Aus John Hubbard, Teichmüller Theory Volume 1, Seite 6.
Aufgabe 13 (Erzeugen einer Topologie durch eine Subbasis)
Es sei S ⊆ P(X) eine Familie von Teilmengen von X; und es sei B die Familie aller endlichen Durchschnitte
von Mengen aus S; und weiter sei T die Familie beliebiger Vereinigungen von Mengen aus B. (Bemerkung: Da
Durschnitte bzw. Vereinigungen über leere Indexmengen gleich X bzw. ∅ sind, ist spätestens in T die leere Menge
∅ und X enthalten). Man zeige:
1. T ist eine Topologie (und offensichtlich ist B eine Basis und S eine Subbasis).
2. T ist die gröbste Topologie, in welcher alle Mengen S ∈ S offen sind.
3. Es sei nun X fest. Geben Sie ein Beispiel für S an, sodass T die (in)diskrete Topologie ist.
4. Es sei f : X → Y eine Funktion zwischen zwei Mengen und TY sei eine Topologie auf Y . Wir setzen S =
{f −1 (O) ⊆ X | O ∈ TY } und nennen TX die von S erzeugte Topologie. Dann ist TX die gröbste Topologie
auf X, sodass f : (X, TX ) → (Y, TY ) stetig ist.
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5. Es sei f : X → Y eine Funktion zwischen Mengen und TX eine Topologie auf X. Wir setzen S = {S ⊆ Y |
f −1 (S) ∈ TX } und nennen TY die von S erzeugte Topologie. Dann ist TY die feinste Topologie auf X, sodass
f : (X, TX ) → (Y, TY ) stetig ist.
6. Es seien Y = R und X = R zunächst nur als Mengen; die Funktion f : X → Y sei die Sägezahnfunktion
f (x) = x − bxc wobei bxc die größte ganze Zahl ist, welche kleiner oder gleich x ist. Beschreiben sie die
Umgebungen der Null in der Topologie T wobei
(a) Y = R mit der Standardtopologie und X = R mit der gröbsten Topologie T , sodass f : X → Y stetig
ist.
(b) X = R mit der Standardtopologie und Y = R mit der feinsten Topologie T , sodass f : X → Y stetig ist.
Aufgabe 14 (Folgenkriterium)
Es sei X ein Raum der das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und A ⊂ X. Zeigen Sie,
1. Es ist x ∈ A genau dann, wenn es eine Folge an ∈ A gibt mit an → x.
2. Es sei Y ein weiterer topologischer Raum und f : X → Y eine Abbildung. Diese ist genau dann stetig, wenn
für alle Folgen gilt: aus xn → x folgt f (xn ) → f (x) in Y .
Aufgabe 15 (Die Sorgenfrey-Gerade ist nicht metrisierbar)
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Sorgenfrey-Gerade (R, T ). Die Topologie T sei erzeugt von der Basis B =
{[a, b) | −∞ < a < b < ∞}. Zeigen Sie:
1. Die Sorgenfrey-Gerade erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist separabel und hausdorffsch (d.h. zu je zwei
verschiedenen Punkten gibt es disjunkte Umgebungen).
2. Die Sorgenfrey-Gerade erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht; also ist die Topologie nicht metrisch.
Aufgabe 16 (Vom Nutzen der Dichtheit)
Es sei X ein topologischer Raum und U ⊂ X. Seien f, g : X → R stetig. Zeigen Sie:
1. Ist f ≤ g auf U , so gilt f ≤ g auf Ū .
2. Ist f = g auf U , so gilt f = g auf Ū . Ist Ū = X, d.h. U liegt dicht, dann kann man also von der Gleichheit
zweier Funktionen auf U auf die Gleichheit auf X schließen.
3. Man ersetze im vorherigen Punkt den Zielraum R durch einen beliebigen metrischen Raum.
Aufgabe 17 (Matrixidentitäten)
Wir bezeichnen die komplexwertigen n × n Matrizen mit Matn×n (C). Sie dürfen benutzen, dass Matn×n (C) ein
normierter Vektorraum ist und dass Determinante, Spur, usw. stetige Abbildungen sind.
1. Zeigen Sie, dass die Matrizen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten eine dichte Teilmenge in Matn×n (C)
bilden. Folgern Sie, dass die invertierbaren Matrizen ebenfalls eine dichte Teilmenge in Matn×n (C) bilden.
2. Nutzen Sie ein Dichtheitsargument um zu zeigen, dass für A ∈ Matn×n (C) mit charateristischem Polynom
χA (X) = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 die Identitäten a0 = (−1)n det(A) und an−1 = spur(A) gelten.
3. Zeigen Sie, dass für A, B, C ∈ Matn×n (C) mit AB = BA die Identität det(A + BC) = det(A + CB) gilt.
Hinweis: Zeigen Sie die Aussage zunächst für invertierbare B.
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Aufgabe 18* (Seltsame Topologie auf Funktionenräumen)
Es sei X = C(R) die Menge der stetigen Funktionen f : R → R und P ⊂ X die Teilmenge der positiven Funktionen.
Für f ∈ X und p ∈ P definieren wir
Up (f ) = {g ∈ X | |f (x) − g(x)| < p(x), x ∈ R} .
Im Folgenden bezeichnen wir die Nullfunktion mit ν.
1. Die Up (f ) erfüllen die Bedingungen an eine Umgebungsbasis (Aufgabe 10); also definieren sie eine Topologie
T auf X.
2. Die Nullfunktion ν ist ein Berührpunkt von P .
3. Es gibt keine Folge in P , die gegen ν konvergiert; also ist T keine metrische Topologie.
4. Entscheiden Sie, ob die Up (f ) sogar eine Basis der Topologie T bilden.
Hinweis zum dritten Aufgabenteil: Zu einer gegebenen Folge fn ∈ P konstruieren Sie mit einem Diagonalargument
ein p ∈ P , sodass kein fn in Up (ν) liegt.
Aus John Hubbard, Teichmüller Theory Volume 1, Seite 7.
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