Ubungen zu ”Grundlagen der Topologie”

Übungen zu ”Grundlagen der Topologie”
WS 2016/17
8. Übungsblatt
Universität Wien, J. Mahnkopf
Aufgabe 29 (Schwache Topologie). Sei X eine Menge und es sei U = (Ui )i∈I eine
Familie von Teilmengen von X. Weiter sei Oi , i ∈ I, eine Topologie auf Ui .
a.) Das Mengensystem
O = O(U) = {O ⊆ X : X ∩ Ui ist offen in Ui (d.h. Ui ∈ Oi ) für alle i ∈ I}
ist eine Topologie auf X.
b.) Die Familie der topologischen Räume (Ui , Oi )i∈I erfülle zusätzlich folgende Eigenschaften:
• für alle i, j ∈ I ist (Oi )Ui |Ui ∩Uj = (Oj )Uj |Ui ∩Uj .
• für alle i, j ∈ I ist Ui ∩ Uj offen in Ui und in Uj .
Bemerkung. Wenn die obigen beiden Eigenschaften erfüllt sind, dann heisst die
Topologie O(U) die durch die Familie der topologischen Raume (Ui , Oi )i∈I gegebene
schwache Topologie auf X.
Für die schwache Topologie O = O(U) gilt:
b1.) Für alle i ∈ I ist
(∗)
OX|Ui = Oi ,
d.h. die Inklusion Ui → X ist eine Einbettung.
b2.) Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig, wenn jedes f |Ui : Ui → Y
stetig ist.
S
b3Z .) Ist X = i∈I dann ist O = O(U) die einzige Topologie mit der Eigenschaft (*)
b4Z .) Sei (X, OX ) topologischer Raum. Sei weiter O0 die schwache Topologie auf
X die gegeben ist durch die Familie der topologischen Teilraume (Ui , OX|Ui )i∈I . Ist
1
S
X = i∈I Ui und jedes Ui ⊆ X offen, dann gilt O = O0 . D.h. die Topologie auf X ist
die schwache Topologie auf X, die durch die topologischen Teilräume Ui gegeben ist.
Aufgabe 30. Sei f : Rn → Rm eine stetige Abbildung. Zeige, dass die Abbildung
F : Rn →
Rn+m
x 7→ (x, f (x))
eine Einbettung ist. Folgere dass die Inklusion Rn → Rm , x 7→ (x, 0) (n < m), eine
Einbettung ist.
Aufgabe 31. Die stetige Abbildung
f : [0, 1) →
S1
t
7→ exp(2πit)
ist keine Einbettung. Zeige, dass für diese Abbildung die UAE verletzt ist, d.h. es
existiert eine stetige Abbildung g : T → [0, 1) so dass f ◦ g stetig ist aber g nicht stetig
ist
S1
f ◦g % ↑ f
g
T
→ [0, 1).
Hinweis. Wähle z.B. T = S 1 .
(Z = Zusatzaufgabe; wird nicht gewertet)
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