Einführung in die Topologie

Fachbereich Mathematik
Sommersemester 2012
Mohamed Barakat
Simon Hampe
Präsenzaufgaben zur Vorlesung
„Einführung in die Topologie “
Keine Abgabe:
Diese Aufgaben werden in der 2. Vorlesungswoche in den Übungsgruppen
besprochen. Wir empfehlen Euch dringend sie vorzubereiten.
Aufgabe 1.
(1) Sei (X, T) ein topologischer Raum und A die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von X, d.h. A := {X \ O | O ∈ T} ⊂ Pot(X).
Zeige:
(A1) {∅, X} ⊂ A;
T
(A2) Ai ∈ A für i ∈ I =⇒
i∈I Ai ∈ A, dabei ist I eine beliebige Indexmenge;
S
(A3) A1 , . . . , An ∈ A =⇒ ni=1 Ai ∈ A.
(2) Man kann topologische Räume genauso gut durch die Auszeichnung der abgeschlossenen Mengen definieren. Genauer:
Sei X eine Menge und A ⊂ Pot(X) mit den Eigenschaften (A1)-(A3). Zeige:
T := {X \ A | A ∈ A} ⊂ Pot(X) ist eine Topologie auf X.
(3) Konstruiere
abzählbar unendlich viele offene Teilmengen Oi ⊂ R (i ∈ N), so
T
daß i∈N Oi nicht offen in R ist (bezüglich der natürlichen Topologie auf R).
(4) Konstruiere abzählbar
unendlich viele abgeschlossene Teilmengen Ai ⊂ R
S
(i ∈ N), so daß i∈N Ai nicht abgeschlossen in R ist (bezüglich der natürlichen
Topologie auf R).
Aufgabe 2. Sei X eine Menge und
Top(X) := {T | T ⊂ Pot(X), T ist eine Topologie auf X}
die Menge aller Topologien auf X. Top(X) ist – als Teilmenge von Pot(Pot(X)) –
eine bezüglich ⊂ partiell geordnete Menge.
(1) Bestimme alle Topologien auf einer 3 elementigen Menge, etwa Top({1, 2, 3}).
(2) Zeige:
(a) Die partiell geordnete Menge Top(X) hat ein größtes und ein kleinstes
Element.
(b) Für zwei Topologien T1 , T2 auf X ist inf(T1 , T2 ) := T1 ∩ T2 wieder eine
Topologie auf X.
(c) Für zwei Topologien T1 , T2 auf X gibt es genau eine Topologie sup(T1 , T2 )
mit folgenden Eigenschaften:
(i) sup(T1 , T2 ) ⊃ T1 und sup(T1 , T2 ) ⊃ T2 .
(ii) Für jedes T ∈ Top(X) mit T ⊃ T1 und T ⊃ T2 gilt T ⊃ sup(T1 , T2 ).
D.h. sup(T1 , T2 ) ist die kleinste Topologie auf X, die T1 und T2 umfasst.
(d) Wie kann man die Aussagen in (b) und (c) verschärfen?
Allgemeiner kann man zeigen: Top(X) ist ein vollständiger Verband.
Aufgabe 3. Beweise Satz 1.3.4 aus der Vorlesung.