1.¨Ubung: Mathematische Methoden der Physik II

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. G. Dirr
Sommersemester 2013
Würzburg, den 05.05.2013
1. Übung: Mathematische Methoden der Physik II
Hinweis: Aus den folgenden 59 Punkten gehen nur 30 in die Gesamtwertung ein.
Topologische Räume
1.1. (a) Sei X eine beliebige Menge und sei S ⊂ P(X) ein beliebiges System von Teilmengen
von X. Zeigen Sie, dass es eine kleinste“ Topologie T (S) auf X gibt, die S enthält.
”
Dies bezeichnen wir als die von S erzeugte Topologie.
(b) Zeigen Sie, dass jeder topologische Raum X, dessen Topologie eine abzählbare Basis
besitzt, auch eine abzählbare dichte Teilmenge enthält.
(c) Finden Sie eine Topologie T auf R, die keine abzählbare Basis besitzt.
(3+3+2 Punkte)
1.2. Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengensysteme T Topologien auf den entsprechenden
Räumen X definieren:
(a) X := R und T := {(−∞, q) | q ∈ Q} ∪ {R, ∅}.
(b) X := R̂ := R∪{∞} und T := T0 ∪{O ⊂ X̂ | ∞ ∈ O und R̂ \ 0 ist kompakt bzgl. T0 },
wobei T0 ⊂ P(R) die Standardtopologie, d.h. die durch d(x, y) := |x − y| erzeugte
Topologie bezeichne.
Bemerkung: R̂ bezeichnet man als die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von R.
(2+3 Punkte)
Definition: Sei (X, T ) ein topologischer Raum und sei (fn )n∈N eine Folge in X. Dann konT
vergiert (fn )n∈N gegen f ∈ X (Schreibweise: fn → f für n → ∞), wenn zu jeder (offenen)
Umgebung Uf von f ein N ∈ N exisitiert, so dass fn ∈ Uf für alle n ≥ N .
1.3. Seien x1 , . . . , xn ∈ R, r1 , . . . , rn ∈ R+
0 und n ∈ N bebiebig. Setze X := C R, R und
U (f ; x1 , . . . , xn ; r1 , . . . , rn ) := {g ∈ X | |g(xi ) − f (xi )| < ri für i = 1, . . . , n }.
(a) Zeigen Sie, dass das Mengensystem
B := U (f ; x1 , . . . , xn ; r1 , . . . , rn ) f ∈ X, x1 , . . . , xn ∈ R, r1 , . . . , rn ∈ R+
,
n
∈
N
0
bezüglich endlicher Durchschnitte stabil ist.
(b) Bezeichne T die von B erzeugte Topologie auf X und sei (fn )n∈N eine beliebige Folge
in X. Zeigen Sie die Äquivalenz:
fn konvergiert punktweise gegen f ∈ X
⇐⇒
T
fn → f für n → ∞
(2+3 Punkte)
1.4. (a) Sei K eine kompakte Teilmenge eines topologischen Raums X und sei A ⊂ K abgeschlossen. Zeigen Sie, dass dann auch A kompakt ist.
(b) Sei K eine kompakte Teilmenge eines topologischen Raums X und sei (An )n∈N eine
monoton fallende Folge von abgeschlossen, nicht-leeren Teilmengen von K. Zeigen
Sie die Aussage
\
An 6= ∅ .
n∈N
(3+3 Punkte)
Metrische und normierte Vektorräume
1.5. Sei V ein normierter Vektorraum. Zeigen Sie für alle x ∈ V und aller r > 0 die Identität
B r (x) = Kr (x) .
Dabei bezeichne Br (x) := {y ∈ V | kx − yk < r} die offene Kugel um x mit Radius r
und Kr (x) := {y ∈ V | kx − yk ≤ r} die entsprechende abgeschlossene Kugel. Gilt die
Identität auch allgemein in metrichen Räumen?
(3 Punkte)
1.6. Untersuchen Sie, ob die folgenden Paare (V, d) metrische Vektorräume definieren:
(a) V := R und d(x, y) :=
|x−y|
.
1+|x−y|
(b) V := C∞ ([0, 1], R) und d(f, g) :=
P∞
kf (k) − g (k) k∞ .
(c) V := C∞ ([0, 1], R) und d(f, g) :=
P∞
kf −g k∞
2−k 1+kf
.
(k) −g (k) k
∞
k=0
(d) V := C(R, R) und d(f, g) := supx∈R
k=0
(k)
(k)
|f (x)−g(x)|
.
1+|f (x)−g(x)|
Dabei bezeichne k · k∞ die Maximumsnorm auf [0, 1], also kf k∞ := maxx∈[0,1] |f (x)|.
(2+2+3+3 Punkte)
1.7. Zeigen Sie (zu Fuß d.h. ohne Satz I.2 aus der Vorlesung), dass alle p-Normen kxkp :=
”
”
Pn
p 1/p
|x
|
,
p
∈
[1, ∞] auf dem Rn äquivalent sind.
k
k=1
(4 Punkte)
1.8. (a) Zeigen Sie die diskrete“ Hölderung-Ungleichung
”
n
X
|xk yk | ≤ kxkp kykq
k=1
für alle x, y ∈ Rn und p, q ∈ [1, ∞] mit
1
p
+
1
q
= 1.
[Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis für a, b ≥ 0 die Unleichung a1/p b1/q ≤
benutzen.]
a
p
+
b
q
(b) Folgern Sie aus (a) die diskrete“ Minkowski-Ungleichung (Dreiechsungleichung der
”
p-Normen)
kx + ykp ≤ kxkp + kykp
für alle x, y ∈ Rn .
(c) Seien p, q ∈ [1, ∞] mit p1 + 1q = 1 gegeben. Folgern Sie aus (a), dass die Produktfolge
(xk yk )k∈N in l1 (N) liegt, falls (xk )k∈N ∈ lp (N) und (yk )k∈N ∈ lq (N). P
Dabei bezeichne
p
lp (N), p ∈ [1, ∞] die Menge aller reellwertigen Folgen (xk )k∈N mit ∞
k=1 |xn | < ∞
(bzw. supn∈N |xn | < ∞ falls p = ∞).
(3+3+3 Punkte)
P∞
versehen mit der 11.9. (a) Zeigen Sie, dass P
l1 (R) := (xn )n∈N ∈ RN |
n=1 |xn | < ∞
∞
Normen kxk1 := k=1 |xk | ein Banachraum ist.
(b) Zeigen Sie, dass l1 (R) die“ Vervollständigung von
”
c00 (R) := (xn )n∈N ∈ RN | xn = 0 für fast alle n ∈ N}
bezüglich der 1-Normen ist.
(c) Zeigen Sie die Inklusion lp (R) ⊂ lq (R) für 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞.
(3+3+3 Punkte)
1.10. Zusatzaufgabe: Die folgende Aufgabe dient nur zur Vertiefung des Stoffes und ist nicht
prüfungsrelevant.
Zeigen Sie, dass jede abgeschlossene, perfekte Teilmenge P eines vollständigen metrischen
Raums X überabzählbar ist. Dabei heißt eine Mengen P ⊂ X perfekt, wenn jeder Punkt
von P auch ein Häufungspunkt von P ist.
(4 Punkte)
Bitte geben Sie Ihre schriftlichen Lösungen am Donnerstag, den 16.05.2013, in der Vorlesung ab.
Weitere Übungsblätter und Hinweise zur Vorlesung finden Sie auf der Internet-Seite:
http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=mathmeth2&type=lectures&sem=ss13