Topologie, schriftliches¨Ubungsblatt 1

Topologie, schriftliches Übungsblatt 1
1. Eine Quasiordnung auf eine Menge X ist eine Relation ≤ mit den Eigenschaften:
• x ≤ x für alle x ∈ X
• Wenn x ≤ y und y ≤ z, dann x ≤ z.
(a) Sei T eine Topologie auf X. Wir Definieren eine Relation ≤T wie folgt: x ≤T y genau
dann wenn (∀U ∈ T )(y ∈ U ⇒ x ∈ U ). Beweisen Sie, dass ≤T eine Quasiordnung ist.
(b) Sei ≤ eine Quasiordnung auf X. Eine Teilmenge U von X ist eine Unterhalb-Menge
wenn (∀x ∈ U )(∀y ≤ x)y ∈ U . Sei T (≤) die Menge aller Unterhalb-Mengen. Beweisen
Sie, dass T (≤) eine Topologie auf X ist.
(c) Sei ≤ eine Quasiordnung auf X. Beweisen Sie, dass ≤T (≤) =≤.
(d) Sei X eine endliche Menge, und sei T eine Topologie auf X. Beweisen Sie, dass die
Topologie T (≤T ) gleich T ist.
(e) Finden Sie eine Topologie T auf N mit der Eigenschaft, dass es keine Quasiordnung ≤
auf N gibt mit T (≤) = T .
(f) Sei X und Y Mengen, und sei ≤X und ≤Y Quasiordungen auf X bzw. Y . Sei f : X → Y
eine Abbildung. Beweisen Sie, dass f genau dann stetig ist bezüglich T (≤X ) und
T (≤Y ), wenn (∀x ∈ X)(∀y ∈ X)(x ≤X y ⇒ f (x) ≤Y f (y)).
2. (a) Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei U eine Teilmenge von X. Beweisen Sie, dass
U
oo
o
o
= U und U o = U o .
(b) Finden Sie einen topologischen Raum (X, T ) und eine Teilmenge U von X, so dass die
o
o
o
sieben Mengen U , U , U , U, U o , U o und U o alle verschieden sind.
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