Topologie - userpages

Topologie
Prof. Dr. Peter Pottinger
FB 3 - Mathematik
Dr. Norbert Heinrich
Aufgabe 1
a) Seien d1 , d2 Metriken auf einer Menge X. Untersuchen Sie, ob dann auch
d3 : X × X → IR, d3 (x, y) := max{d1 (x, y), d2 (x, y)} eine Metrik ist.
b) Sei IR versehen mit der euklidischen Metrik. Beweisen Sie, dass mit der ε − δDefinition, f : [−1, 1] → IR, f (x) := x2 + x in jedem x0 ∈ IR stetig ist.
c)
Beweisen Sie, dass f aus b) sogar gleichmäßig stetig ist.
Aufgabe 2
a) Es sei S := {{a, b}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} eine Subbasis einer Topologie O auf
X := {a, b, c, d, e}. Bestimmen Sie daraus eine Basis B und die zugehörige Topologie
O auf X.
b) Geben Sie für die cofinite Topologie auf IN eine Subbasis an, die keine Basis ist.
Aufgabe 3
a) Sei (X, O) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Wie ist ein innerer Punkt von A, ein
Berührungspunkt von A und ein Randpunkt von A definiert ?
b) Sei (X, O) := ({1, 2, 3, 4}, {∅, X, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}}). Geben Sie für die Menge
A := {1, 3} den offenen Kern, die abgeschlossene Hülle und den Rand von A an.
c)
Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass für alle abgeschlossenen Mengen
A die abgeschlossene Hülle des offenen Kernes wieder gleich A ist.
Aufgabe 4
a) Sei (X, O) ein topologischer Raum mit X := {a, b, c}, O := {X, ∅, {b}}, IR mit
der natürlichen Topologie versehen und f : IR → X definiert durch
f (0) := a, f (1) := c, f (x) := b für alle x ∈
/ {0, 1}.
Beweisen Sie, dass f stetig, aber weder offen noch abgeschlossen ist.
b) Es seien (X, O), (Y, O0 ) topologische Räume.
(i) Wann heißt eine Menge U ⊆ X in inem topologischen Raum (X, O) Umgebung eines Punktes x ∈ X ?
(ii) Sei f : X → Y stetig und U eine Umgebung von x ∈ X. Beweisen oder
widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass f (U ) eine Umgebung von
f (x) ist.
1. Probeklausur
02.Juni 2017