(X, τ) ein topologischer Raum. Zeigen Sie

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 4
Abgabe bis Fr, 06.05., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
(a) Sind A, B ⊆ X quasi-kompakt, so ist auch A ∪ B quasi-kompakt.
(b) Ist A ⊆ X quasi-kompakt und B ⊆ X abgeschlossen, so ist A ∩ B quasi-kompakt.
Aufgabe 2.
Sei f : X → Y eine Abbildung topologischer Räume, Y Hausdorffsch und
Gf := {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y
der Graph von f . Zeigen Sie:
(a) Ist f stetig, so ist Gf abgeschlossen.
(b) Sind X und Y kompakt und Gf abgeschlossen, so ist f stetig.
Aufgabe 3. (Kompaktheit endlicher Produkte) Seien X und Y quasi-kompakt, U eine
offene Überdeckung von X × Y und x ∈ X beliebig.
(a) Zeigen Sie: Die Abbildung Y 7→ X, y 7→ (x, y), ist stetig und {x} × Y ⊆ X × Y
ist quasi-kompakt.
(b) Zeigen Sie: Es gibt eine endliche Teilüberdeckung Fx ⊆ U von {x} × Y , und eine
offene Umgebung Ux von x derart, dass Fx auch Ux × Y überdeckt. (Ersetzen Sie
ggf. U durch {U × V : U, V offen und ∃W ∈ U mit U × V ⊆ W }).
(c) Folgern Sie: U enthält eine endliche Teilüberdeckung von X × Y und der Raum
X × Y ist quasi-kompakt.
Aufgabe 4. (Die Cantor-Menge als Produktraum) Wir versehen {0,
Q1} mit der diskreten
N
Topologie und betrachten den Produktraum X := {0, 1} := i∈N {0, 1}, also den
Raum aller 0-1-Folgen, wobei vereinbarungsgemäß 0 6∈ N. Zeigen Sie:
(a) Eine Basis der Produkt-Topologie ist gegeben durch alle Mengen der Form
Uy1 ,...,yn := {x ∈ X : x1 = y1 , . . . , xn = yn }
(n ∈ N, y1 , . . . , yn ∈ {0, 1}).
(b) Ein Netz (xλ )λ von Folgen xλ = (xλ,n )n konvergiert in X genau dann gegen eine
Folge y = (yn )n , wenn für jedes n ∈ N ein λ0 existiert mit xλ,1 = y1 , . . . , xλ,n = yn
für alle λ ≥ λ0 .
(c) Die Abbildung f : X → [0, 1], gegeben durch
f (x) =
∞
X
2xn
n=1
3n
für x = (xn )n ∈ X,
ist stetig (bezüglich der gewöhnlichen Topologie auf [0, 1]).
(d) Das Bild f (X) ⊆ [0, 1] ist homöomorph zu X.
(Bemerkung: Das Bild f (X) ist gerade die Cantor-Menge, vgl. mit Aufgabe 5 von Blatt
1 der Vorlesung Analysis III im letzten Semester.)
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Zusatzaufgabe 5. (Stone-Čech-Kompaktifizierung) Sei (X, τ ) ein topologischer Raum
und βX die Menge aller Ultrafilter auf X. Zeigen Sie:
(a) Alle Mengen der Form
βU := {F ∈ βX : U ∈ F}
(U ∈ τ )
bilden eine Basis für eine Topologie auf βX.
(b) Die Abbildung
ιX : X → βX, x 7→ Px = {A ⊆ X : x ∈ A},
ist stetig und ιX (X) = βX.
(c) Sei U ⊆ τ eine Überdeckung von X. Falls U keine endliche Teilüberdeckung
besitzt, existiert ein Ultrafilter F ∈ βX mit U1c ∩ · · · ∩ Unc ∈ F für alle U1 , . . . , Un ∈
U.
(d) βX ist quasi-kompakt. (Hinweis: Es genügt, Überdeckungen der Form {βU : U ∈
U} von βX für Überdeckungen U ⊆ τ von X zu betrachten).
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