1.¨Ubung zur Diskreten Optimierung

Prof. Dr. R. Schrader
Ch. Gießelbach
D. Räbiger
SS 2004
1. Übung zur Diskreten Optimierung
Abgabe in der Übungsgruppe, 29./30. April
Aufgabe 1: (Laufzeit von Algorithmen)
mündlich
a) Erinnern Sie sich an die Definitionen der O–, Ω– und Θ–Notation.
b) Welche Laufzeit haben die Algorithmen zur Addition und Multiplikation zweier ganzer Zahlen in O–Notation?
c) Betrachten Sie den Algorithmus A, der als Eingabe eine natürliche Zahl c ∈
O(c) Rechenschritte benötigt.
N erhält und
Ist die Laufzeit des Algorithmus polynomiell?
Aufgabe 2: (polynomielle Reduktion)
mündlich
In der Vorlesung wurde der harte Kern“ der Menge N P beschrieben. Wir bezeichnen diese Teil”
menge als N P–vollständige Probleme. Wir wissen (Satz von Cook), daß das S AT–Problem N P–
vollständig ist. Außerdem wissen wir, daß das folgende Problem ebenfalls N P–vollständig ist.
H AMILTON C IRCUIT P ROBLEM (HC): Gegeben einen Graphen H = (VH , EH ). Existiert in H
ein Hamilton–Kreis, also ein Kreis, der alle Knoten genau einmal besucht?
Zeigen Sie, daß das folgende Problem (TSP) ebenfalls NP–vollständig ist, indem Sie sich überlegen, wie Sie einen Algorithmus, der TSP löst, dazu benutzen können, um eine beliebige Instanz
für HC zu lösen.
T RAVELING S ALESPERSON P ROBLEM (TSP): Gegeben einen vollständigen Graphen mit Kantengewichten und Konstante k. Existiert in G eine Rundreise (ein Kreis, der alle Knoten des Graphen genau einmal besucht) der Länge höchstens k?
Aufgabe 3: (graphische Lösung eines LP)
schriftlich, 6 Punkte
Ein Kaugummifabrikant stellt zwei Sorten her, eine No–Fat und eine No–Carbs Variante. Er
benötigt drei Ausgangsstoffe A, B und C. Von A stehen 1500 Tonnen zur Verfügung, von B 1200
Tonnen und von C 500 Tonnen. Zur Produktion einer Tonne No–Fat Gum“ werden 2 Tonnen A
”
und jeweils eine Tonne B und C benötigt, für No–Carbs Gum“ jeweils eine Tonne A und B. Der
”
Gewinn pro Tonne No–Fat Gum“ beträgt 30e, pro Tonne No–Carbs Gum“ 20e.
”
”
Stellen Sie das zugehörige Lineare Programm in Standardform auf und lösen Sie es graphisch.
Können Sie Ihre die Optimalität Ihrer Lösung durch Aufstellen des Dualen Problems und Einsetzen der Werte (10, 10, 0) für die Dualvariablen beweisen?
Aufgabe 4: (Standardformen)
schriftlich, 3 Punkte
Bringen Sie die folgenden Linearen Programme in die Standardform
max cT x
Ax ≤ b
x≥0
aus der Vorlesung.
a)
min cT x
Ax ≤ b
x≥0
b)
T
min c x
Ax ≤ b
c)
max cT x
Ax = b
x≥0