Ausgewählte Kapitel der Komplexitätstheorie/Algorithmik

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut für Theoretische Informatik
FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger
http://www.tu-ilmenau.de/fakia/AKALG WS09.html
Ausgewählte Kapitel der Komplexitätstheorie/Algorithmik“
”
Übungsblatt 2, WS 2009/10
Besprechung am 12.11.2009 (mit Möglichkeit zum Vorrechnen)
Aufgabe 1
(Basen)
Man zeige, dass jede der Funktionenmengen
F1 = {∧, ∨, ¬}, F2 = {∨, ¬}, F3 = {∧, ¬}, F4 = {NAND}, F5 = {NOR}
eine vollständige Basis“ für die Menge der Booleschen Funktionen ist, d. h. dass für jedes n
”
jede Funktion f ∈ Bn einen Schaltkreis besitzt, in der nur Funktionen aus Fi als Operationen
vorkommen.
(Hinweis: Wir wissen schon, dass F1 = {∧, ∨, ¬} eine vollständige Basis ist. Nun genügt es
zu zeigen, dass jede Funktion in F1 durch die Funktionen in Fi ausgedrückt werden kann, i =
2, . . . , 5.)
Ist {XOR} vollständig? Ist {∧, ∨} vollständig? (Wir werden diskutieren, wann genau eine Menge
{f1 , . . . , fs } von Booelschen Funktionen eine vollständige Basis darstellt.)
Aufgabe 2
(Komplexität von Entscheidungsfragen)
Analysieren Sie die Komplexität, bezüglich der in der Vorlesung betrachteten Eingabeformate
für Boolesche Funktionen, für die folgenden beiden Probleme:
(a) DISJUNKTHEIT: {(f, g) ∈ Bn × Bn | f · g ≡ 0}.
(b) STRIKTE DOMINANZ: {(f, g) ∈ Bn × Bn | f < g}.
Dabei bedeutet f < g, dass f ≤ g und f 6= g gilt.
Aufgabe 3
(Primimplikanten)
(a) Zeigen Sie (vollständig formal): Wenn p ein vereinfachtes Polynom ist, das kein Monom
enthält oder genau ein Monom enthält oder ausschließlich Monome der Länge 1 enthält,
dann besteht p aus allen seinen Primimplikanten.
(b) Ermitteln Sie die Menge aller Primimplikanten der durch die folgende Formel ϕ gegebenen
Funktion: n = m2 und
ϕ = (X1 ∨ · · · ∨ Xm ) ∧ (Xm+1 ∨ · · · ∨ X2m ) ∧ · · · ∧ (Xm(m−1)+1 ∨ · · · ∨ Xm2 ).
Aufgabe 4
(Primimplikanten)
Wenden Sie den Algorithmus Baum-Methode“ an, um alle Primimplikanten der Funktion zu
”
finden, die durch folgendes Polynom gegeben ist:
p = X̄1 X2 X̄4 + X1 X̄2 X3 + X1 X2 X3 X̄4 + X̄2 X3 X4 + X̄1 X2 X̄3 + X2 X3 X4 .
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Ausgewählte Kapitel der Komplexitätstheorie/Algorithmik“
”
Aufgabe 5
Übungsblatt 2, WS 2009/10
(Primimplikanten des Überlaufbits)
Ermitteln Sie die Menge PI(f ) der Primimplikanten der Funktion f ∈ B2n , die das Überlaufbit
bei der Additon zweier n-stelliger Zahlen angibt:
1, falls (an−1 · · · a0 )2 + (bn−1 · · · b0 )2 ≥ 2n ,
f (an−1 , . . . , a0 , bn−1 , . . . , b0 ) =
0, sonst.
Benutzen Sie Variable Xn−1 , . . . , X0 , Yn−1 , . . . , Y0 . – Ist das Polynom, das aus allen Primimplikanten besteht, ein Minimalpolynom für f ?
Aufgabe 6
(Ringsummenexpansion)
Ermitteln Sie die Ringsummenexpansion für die Schwellwertfunktion“ (engl.: threshold functi”
on)
P
_
1, falls
1≤i≤n ai ≥ 2,
ai aj =
THn2 (a1 , . . . , an ) =
0, sonst.
1≤i<j≤n
Hinweise: Es gilt Xi = (1 ⊕ Xi ) und die Formel
_
f=
ma =
a∈f −1 (1)
M
ma .
a∈f −1 (1)
Daraus kann man im Prinzip durch Ausmultiplizieren die RSE von f erhalten. Betrachten Sie
nun zunächst n = 4. Verallgemeinern Sie dann auf beliebige n.
Zusatzfrage: Wie könnte die Ringsummenexpansion der allgemeinen Schwellwertfunktion THnk ,
1 ≤ k ≤ n, aussehen, die durch
P
1, falls
n
1≤i≤n ai ≥ k,
THk (a1 , . . . , an ) =
0, sonst,
definiert ist?