Topologie

Topologie
1.Übung (4.4.2016)
1. Ein topologischer Raum X erfüllt das Trennungsaxiom (T3.5 ), wenn
∀ x ∈ X, A ⊆ X abgeschlossen ∃ f : X → [0, 1] stetig :
f (x) = 1, f (a) = 0, a ∈ A.
Der Raum X heißt vollständig regulär, wenn er (T3.5 ) und (T1 ) ist.
Betrachte einen vollständig regulären Raum X, und zeige:
(a) Die Familie {f : X → [0, 1] : f stetig} ist eine trennende Familie.
(b) Der Raum X ist homöomorph zu einem Teilraum eines Würfels [0, 1]I mit einer geeigneten Indexmenge I (Einbettungssatz von Tychonoff).
2. Sei X ein regulärer topologischer Raum (d.h. (T3 ) plus (T1 )) der das 2te-Abzählbarkeitsaxiom erfüllt
(d.h. die Topologie hat eine abzählbare Basis). Zeige:
(a) Sei B eine Basis der Topologie von X, und (O, V ) ∈ B × B mit O ⊆ V . Dann existiert fO,V : X →
[0, 1] stetig mit fO,V (O) ⊆ {0} und fO,V (X \V ) ⊆ {1}. Die Familie {fO,V : (O, V ) ∈ B ×B, O ⊆ V }
ist eine trennende Familie.
(b) Der Raum X ist homöomorph zu einem Teilraum eines Würfels [0, 1]I mit einer gewissen höchstens
abzählbaren Indexmenge I (Einbettungssatz von Urysohn).
(c) Beweise den Metrisierbarkeitssatz von Urysohn mit Hilfe der im letzten Punkt gezeigten Tatsache.
3. Sei (X, U ) ein uniformer Raum, und sei TU die von U induzierte Topologie. Für U ∈ U und M ⊆ X
bezeichne
�
U (x) = {y ∈ X : ∃ x ∈ M mit (x, y) ∈ U }.
U (M ) :=
x∈M
Zeige, dass für jede Teilmenge M ⊆ X gilt (der Abschluss versteht sich bzgl. TU )
�
M=
U (M ).
U ∈U
4. Sei X eine Menge und B ⊆ P(X × X). Dann existiert eine Uniformität U auf X sodass B eine Basis von
U ist, genau dann wenn B die folgenden Eigenschaften hat:
(B1) ∀ U ∈ B : Δ ⊆ U .
(B2) ∀ U ∈ B ∃ V ∈ B : V ◦ V ⊆ U .
(B3) ∀ U ∈ B ∃ V ∈ B : V −1 ⊆ U .
(B4) ∀ U1 , U2 ∈ B ∃ V ∈ B : V ⊆ U1 ∩ U2 .
Es existiert eine Uniformität U auf X sodass B eine Subbasis von U ist, genau dann wenn B die Eigenschaften (B1), (B2), (B3) hat.
5. Seien (X, U ) und (Y, V) uniforme Räume, und f : X → Y . Ist f : (X, TU ) → (Y, TV ) stetig und TU
kompakt, so ist f : (X, U) → (Y, V) gleichmäßig stetig.
6. Sei (X, U ) ein uniformer Raum sodaß TU kompakt ist. Dann ist U gleich die Menge aller Umgebungen
der Diagonale Δ ⊆ X × X bzgl. der Produkttopologie TU × TU .
Insbesondere existiert auf einem kompakten topologischer Raum höchstens eine uniforme Struktur die
die Topologie des Raumes induziert.
�
7. Sei (X, U ) ein uniformer Raum, und bezeichne Δ∗ := U ∈U U . Zeige, dass Δ∗ eine Äquivalenzrelation
auf X ist. Bezeichne π : X → X/Δ∗ die kanonische Projektion.
(a) Die Familie U ∗ := {(π × π)(U ) : U ∈ U } ist die (bzgl. der mengentheoretischen Inklusion) größte
Uniformität auf X/Δ∗ sodaß π gleichmäßig stetig ist. Ist (Y, V) ein uniformer Raum und f :
X/Δ∗ → Y , so ist f gleichmäßig stetig genau dann wenn f ◦ π gleichmäßig stetig ist.
(b) Ist (Y, V) ein uniformer Raum und f : Y → X, so ist f gleichmäßig stetig genau dann wenn π ◦ f
gleichmäßig stetig ist.
(c) Die Topologie TU ∗ is (T1 ).
(d) Sei (Y, V) ein uniformer Raum sodaß TV (T1 ) ist, und sei f : (X, U ) → (Y, V) gleichmäßig stetig.
Dann existiert eine eindeutige Abbildung f ∗ : X/Δ∗ → Y mit
X❄
❄❄
❄❄
❄
f ❄❄
�
π
Y
�②
②
②
� X/Δ∗
②
f∗
Diese ist gleichmäßig stetig.
(e) Ist U die von einer pseudo-Metrik d induzierte Uniformität, so ist
Δ∗ = {(x, y) : d(x, y) = 0},
und U ∗ wird von der durch Faktorisierung von d erhaltenen Metrik induziert.
8. In der Vorlesung hatten wir auf einer topologischen Gruppe X eine Uniformität definiert, indem wir als
Basis die Familie
SW := {(x, y) ∈ X × X : xy −1 ∈ W }, W ∈ U (e),
verwendet haben. Diese Uniformität bezeichnet man als die rechts-Uniformität Ur der Gruppe. Analog
hat man die links-Uniformität Ul auf X indem man als Basis (weise die Basis Eigenschaften nach) die
Familie
RW := {(x, y) ∈ X × X : y −1 x ∈ W }, W ∈ U (e),
verwendet.
(a) Für jedes a ∈ X sind die Translationen Tar : x �→ xa und Tal : x �→ ax Isomorphismen von (X, Ur )
auf (X, Ur ), sowie von (X, Ul ) auf (X, Ul ).
(b) Die Inversenbildung I : x �→ x−1 ist ein Isomorphismus von (X, Ur ) auf (X, Ul ), sowie von (X, Ul )
auf (X, Ur ).
(c) Beide Uniformitäten induzieren die Topologie der Gruppe.
9. Sei TopGr die Kategorie der topologischen Gruppen mit stetigen Homomorphismen als Morphismen, und
Unif die Kategorie der uniformen Räume mit gleichmäßig stetigen Abbildungen als Morphismen. Sei
F : TopGr → Unif definiert auf Objekten als
F(�X, ·, .−1 , T �) := �X, U �,
�X, ·, .−1 , T � ∈ TopGr,
wobei U die in der Vorlesung konstruierte Uniformität der topologischen Gruppe ist, und auf Morphismen
als
�
�
Ff := f, f ∈ Hom �X, ·, .−1 , T �, �X � , ·, .−1 , T � � .
Ist F ein Funktor ?