zur LVA von Univ. Prof. H.C. Reichel
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ANALYSIS I INHALT §0 Propädeutik Beispiele: unendl. divergente Reihen geometrische Reihen, Konvergenz Grundbegriffe der Mengensprache Aussagenlogik Negation Mächtigkeit von Mengen Elementare Mengenalgebra Symmetrische Differenz Komplementärmenge Potenzmenge Zahlenmengen Natürliche, ganze, rationale Zahlen Satz: 2 ist irrational Intervalle Funktion -injektive -surjektive -bijektive Umkehrfunktion Menge, abzählbar unendliche Satz: (0,1] ist nicht abzählbar Kardinalzahl Satz von Cantor Potenzmenge P(X), transfinite Kardinalzahlen Produktmenge AxB Grundbegriffe der Kombinatorik n! Permutation Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz Vollständige Induktion Seite 1 1-2 3-4 4 §1 Die reellen Zahlen Körperaxiome Körper angeordneter Gruppe abelsche kommutative 5-6 Ring Kommutative, mit Einselement Folgerungen aus den Körperaxiomen Regeln für Gleichungen und Ungleichungen Vollständigkeitsaxiom DEDEKIND’scher Schnitt VOD Satz: Je zewi vollständig angeordnete Körper sind isomorph Obere (untere) Schranke Supremum, Infimum Maximum, Minimum Satz über sup bzw. inf und Ordnungsvollständigkeit (OVO) Menge, ordnungsvollständige Satz: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unbeschränkt. Gruppe, archimedisch angeordnete Archimedisches Axiom Satz: VODOVO Intervallschachtelungsprinzip (IV) Satz: VODOVOIVS+Archimed.Axiom Betrag reeller Zahlem Dreiecksungleichung Korollar der Dreiecksungleichung Satz: Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt stets mind. eine Rationale Zahl Punkt, innerer und äußerer Randpunkt Isolierter Punkt Häufungspunkt Menge offene abgeschlossene Perfekte Teilmenge 7-8 9 10-11 11 §2 Folgen reeller Zahlen §2.1. Iterationsverfahren 13 §2.2. Grundbegriffe 13-15 Definition einer Folge Darstellungsformen Artithmetische Folge Geometrische Folge Fibonacci Folge Supremum, Infimum einer Folge Monotonie Folge, alternierende Folge, beschränkte Grenzwert einer Folge 13 14 Nullfolge Folge, konvergente Folge, divergente Häufungswert limsup und liminf Satz: Eine Folge konvergeiert genau dann, wenn sie genau einen Häufungswert besitzt Teilfolge Satz: Ist a ein Häuungswert einer Folge, so gibt es eine gegen a konvergente Teilfolge 15 §2.3. Rechnen mit konvergenten (divergenten) Folgen 15-18 Satz: Multiplikation mit einer Konstanten Satz: Reziproke Folge einer divergenten Folge Satz: dominante Folge Beispiele Geometrische Folgen Satz über Konvergenz geometrischer Folgen Satz: Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen Satz: Summe, Produkt und Quotient zweier konvergenter Folgen Konvergenzgeschwindigkeit Satz über exponentielles und polynomielles Wachstum Satz über exponentielles und faktorielles Wachstum 15 §2.4. Konvergenzkriterien und topologische Eigenschaften 19-22 Satz: Jede reelle, konvergente Folge ist beschränkt Lemma: Jede beschränkte Folge hat einen Häufungswert (Bolzano Weierstraß) Lemma: Ist a Häufungswert einer Folge, so gibt es eine Teilfolge, die gegen a konvergiert Satz: Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge Satz über Monotonie und Beschränktheit einer Folge Beispiele Definition von e Satz: e ist transzendent Satz über Nullfolgen Sätze über topologische Eigenschaften von R Menge, kompakte Cauchy’sches Konvergenzkriterium 19 16 17 18 20 21 22 §3 Unendlische reelle Reihen §3.1. Definition und Beispiele 23 Definition der unendlichen Reihe Geometrische Reihen Entwicklung einer Funktion in eine Reihe arctan x ln(x+1) Teleskopsumme Harmonische Reihe, Beispiele Majorantenkriterium Dezimalbruchentwicklung §3.2. Sätze über Reihen 24-27 Wurzelkriterium Quotientenkriterium (d’Alembert) Beispiele Alterniernde Reihe Satz über Konvergenz alternierender Reihen Beispiele Absolute Konvergenz Satz über absolute Konvergenz Bedingte Konvergenz Potenzreihen 24 §3.3. Cauchy’sches Konvergenzkriterium für Reihen 27 25 26 27 Satz: Cauchy-Kriterium Korollar über absolute Konvergenz Korollar: Die Glieder einer konv. Reihe bilden eine Nullfolge §3.4. Rechnen mit Reihen und deren Handhabung Umordnen von Reihen Der Satz von Rieman Großer Umordnungssatz Unendliche Produkte Satz von Poissin-Hadamard Setzen von Klammern Summieren von unendlichen Reihen Multiplizieren von unendlichen Reihen Satz: Cauchy-Produkt 28-31 29 30 31 §4 Funktionen §4.1. Grundbegriffe 32-34 Was ist eine Funktion? – Funktionsbegriff Beispiele VENN-Diagramm Gleichheit von Funktionen Funktion, injektive, surjektive und bijektive Graph einer Funktion Geschichtliche Entwicklung des Funktionsbegriffes Weitere Beispiele zum Funktionsbegriff Funktion, momoton wachsende/fallende 32 §4.2. Beispiele reeller Funktionen 34-45 Lineare Funktion Polynome Grad eines Polynoms Potenzfunktion Identität zweier Polynome Satz: Interpolation mittels Lagrange Polynom Newton’sche Form des Interpolationspolynoms Anwendungsbeispiele für Interpolation Rationale Funktionen Rechnen mit Funktionen Summe zweier Funktionen Multiplikation mit einer Konstanten Multiplikation zweier Funktionen Körper der rationalen Funktionen Betrag einer Funktion Nullfunktion Positiver, negativer Anteil einer Funktion Satz über Existenz und Eindeutigkeit der n-ten Wurzel Definition der k-ten Wurzel Zusatzdefinition für negative Radikanden Graphen der 2. und 3. Wurzel Verkettung von Funktionen Umkehrfunktion Beispiele Graph der Umkehrfunktion Identität Winkelfunktionen, Definition am Einheitskreis Cotangens Einfache Eigenschaften der Winkelfunktionen Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck Bogenlänge Graph von cos(x) 34 33 34 35 36 37/38 39 40 41 Funktion, gerade und ungerade Graph von tan(x) Winkelfunktionen bei typischen Winkeln Additionstheoreme Eulersche Formel Satz von Moivre Folgerungen aus der Eulerschen Formel Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Hyperbelfunktionen Das Produkt von Wallis 41 §4.3. Grenzwerte reeler Funktionen und Stetigkeit 45-54 Definition des Grenzwertes Links- und rechtsseitiger Grenzwert Beispiele für Grenzwerte Umgebung, punktierte Definition der Stetigkeit in einem Punkt Beispiele für Stetigkeit Stetigkeit auf einem Intervall Satz über den Grenzwert einer Funktion Beispiel: sin(1/x) Korollar über Stetigkeit Äquivaltente Formulierungen der Stetigkeit Bemerkung: vertauschen von „lim“ und „f()“ Beispiele zur Stetigkeit Sätze über Stetigkeit Konstanz des Vorzeichens Positivität Nullstellensatz von Bolzano Zwischenwertsatz Rechnen mit Grenzwerten und stetigen Funktionen Komposition stetiger Funktionen Beispiele stetiger Funktionen Folgerung: Stetigkeit von Polynomen Stetigkeit von sin(x) Uneigentliche Grenzwerte, Definition und Beispiele 45 §4.4. Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion und Prinzip der stetigen Ergänzung Potenzen, Rechenregeln Negativer Exponent Peermanenzprinzip Rationaler Exponent Stetige Ergänzung Exponential- und Potenzfunktion Stetigkeit von Exp.- und Potenzfunktion 42 43 44/45 46 46/47 48 48/49 49-51 52 52/53 53/54 55-58 55/56 Existenz und Eindeutigkeit Umkehrfunktionen der Exp.- und Potenzfunktion Logarithmusfunktion Rechenreglen für log Stetigkeit der Logarithmusfunktion 56/57 58 §4.5. Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen 58-64 Intervall, offenes Satz über abgeschlossene Intervalle Beispiele Menge, kompakte Satz: Jede Folge in einem kompakten Intervall hat einen Häufungspunkt Satz: : Jede Folge in einem kompakten Intervall hat eine Konvergente Teilfolge Satz: Eine auf einem kompakten Intervall stetige Funktion Ist dort immer beschränkt Satz: Ist f stetig auf einem kompakten Intervall stetig, so nimmt f dort sein Supremum und Infimum an. Allgemeiner Zwischenwertsatz Satz: Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens Eine reelle Nullstelle Fixpunktsatz Existenz von Lösungen einer Gleichung Satz über die Umkehrabbildung und deren Steigkeit Beispiel Satz über abzählbarkeit der Sprungstellen einer monoTonen Funktion auf einem kompakten Intervall 58 59 59/60 61 61/62 63/64 §5 Differenzierbarkeit §5.1. Grundbegriffe und Rechenregeln 65-76 Deutung des Differenzialquotiente Differenzierbarkeit Ableitung Beispiele Ableitung, rechts- u. linksseitige Eine weitere Definition der Differenzierbarkeit Differentiation von sin(x) und ln(x) Differentiation von cos(x), tan(x), exp(x) Die Differenzialgleichung y´=y Beispiele Differentiation der Potenzfunktion und log(x) Stammfunktion 65 66 67 68 69 69/70 71 Sätze über die Stammfunktion Satz: Differenzierbarkeit und Stetigkeit Kettenregel Korollar für Umkehrfunktionen Beispiele 71/72 §5.2. Höhere Ableitungen 77 §5.3. Partielle Ableitungen 77-78 73 74 74-76 ENDE ANALYSIS I
