Analysis
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Analysis Seite 1 0 1 0.0 Abkürzungen, Vorbemerkungen, Beweismethoden Direkter Beweis Indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis 0.1 Mengen Definition, gleiche Mengen, leere-, Teilmengen Vereinigung, Schnitt, Differenz, disjunkte Komplement, Potenzmenge,kartesisches Produkt Rechenregeln,Folgerungen System von Mengen 0.2 Relationen, Funktionen Definition Relation, Äquivalenzrelation, Äquivalenzklassen Partition Funktion, Definitionsbereich, Wertebereich, Urbild Eigenschaften von Bild und Urbild einer Funktion f Injektive, surjektive, bijektive Abbildungen Verkettete Abbildungen Identische Abbildungen 300 1 Axiomatische Einführung der reellen und komplexen Zahlen 300 304 1.1 Definition Körper, Körperaxiome Abgeleitete Rechenregeln (RR) in K 400 400 1.2 Die Anordnungsaxiome Abgeleitete Rechenregeln in einem angeordneten Körper (RR<) Maximum, Minimum Absolutbetrag Dreiecksungleichung Vorzeichen 1.3 Das Vollständigkeitsaxiom und die Definition der reellen Zahlen Schranken, Supremum, Infimum Definition vollständiger Körper Definition Intervalle, Dedekindsche Schnitte Quadratwurzel 2 3 4 5 8 9 100 102 105 107 200 202 203 405 406 407 410 500 500 504 505 513 Vorbemerkungen 600 1.4 Funktionenräume, gerade/ungerade Funktionen, monotone Funktionen Beschränkte Funktion Definition monotone Funktionen 1.5 Die natürlichen Zahlen und das Prinzip der vollständigen Induktion Definition Induktive Mengen, natürliche Zahlen Vollständigen Induktion Rechenregeln in N Archimedisches Prinzip Wohlordnungssatz Summen, Produkte Unleichung von Bernoulli 600 601 700 700 701 702 705 706 709 715 750 750 751 752 756 756 758 759 761 762 763 800 802 P15f Abzählbare Mengen Abzählberes kartesisches Produkt Abzählbarkeit rationaler Zahlen Maximum und Minimum zu Mengen Ganze, rationale, irrationale Zahlen N, Z, Q sind abzählbar, R und R\Q sind überabzählbar Das größte Ganze Division mit Rest g-Adische Zahlendarstellung Intervalle, Intervallschachtelungsprozess 1.6 803 Die komplexen Zahlen Eigenschaften der komplexen Zahlen Potenz komplexer Zahlen 900 901 903 904 905 906 908 1.7 Einige Identitäten, Ungleichungen und Definitionen Teleskopsumme Endliche geometrische Reihe Abelsche partielle Summation Fakultät, Binominalkoeffizient Identitäten zu Binominalkoeffizienten Binominalsatz 1000 1000 1.8 Arithmetisches und geometrisches Mittel AGM Ungleichung 1100 1000 1104 1106 1.9 Polynome, Nullstellen, grad, rationale Funktionen Nullstellen Divisionssatz Identitätssatz für Polynome 1150 1150 1151 1152 1152 1153 1153 1155 1157 1200 P19f Cauchy-Schwarz Ungleichung, Lagrange Identität Cauchy Produkt von Polynomen Minkovsky Ungleichung, Interpolation mit Polynomen Hauptsatz der Polynominterpolation Lagrange Darstellung des Interpolationspolynoms Interpolationspolynom Newtonsche Darstellung Wurzelfunktion nte Wurzelfunktion 2 Kapitel Konvergenz von Folgen und Reihen 1200 2.1 1207 1207 1250 2.1f 1250 1255 Konvergenz und Grenzwert Beschränkte Folge Nullfolgen Cauchyfolge Eigenschaften konvergenter Folgen Vergleiche von Folgen 1300 1300 2.2 Reelle, insbesondere monotone Folgen Definition Teilfolge, Umordnung, triviale Abänderung Konvergenz von Teilfolgen, Umordnungen und trivialen Abänderungen konvergenter Folgen Monotone Konvergenz monotone Teilfolge Bolzano Weierstraß (BW) Konvergenzkriterium von Cauchy Uneigentliche Kovergenz Division durch Multiplikation und Addition Wurzelziehen durch Division und Multiplikation und Addition 2.3 Expotential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen Intervallschachtelung für e Expotentialfunktion Beschränkung Expotentialfunktion komplex e: Eulersche Zahl, reelle-, komplexe Expotentialfunktion Eigenschaften Expotentialfunktion 1301 1301 1307 1308 1308 1309 1315 1315 1400 1403 1404 1409 1409 1450 1451 1452 2.3f exp: R(0,) ist bijektiv natürliche Expotentialfunktion mit Basis e Umkehrfunktion log(0,) R natürlicher Logarithmus oder Logarithmus zur Basis e Eigenschaften des Logarithmus Potenz zur Basis a mit Exponenten b allgemeine Expotentialfunktion, Logarithmusfunktion allgemeine Potenzfunktion Eigenschaften dieser Funktionen Wichtige Grenzwerte 1453 1455 1455 1456 1459 1500 2.4 Häufungswerte (HW) von Zahlenfolgen Häufungspunkte (HP) von Mengen Bolzano Weierstrass (BW) min H, max H. limes superior, limes inferior Beschränkte, konvergente Folgen und Häufungswert 1550 2.5 Doppelfolgen 1600 3 Kapitel,unendliche Reihen 1600 3.1 Definition unendliche Reihen, nte Partialsumme Konvergenz Konvergenz/Divergenz der geometrischen Reihe Rechenregeln/Konvergenz für unendliche Reihen Teleskopreihe alternierende Reihe Leibniz Kriterium 3.2 1701 Reihen mit nicht-negativen Gliedern, absolut konvergente Reihen Majorantenkriterium, Minorantenkriterium 1702 1704 Wurzelkriterium Quotientenkriterium 1717 1718 Cauchy-Schwarz-Ungleichung Verdichtungssatz von Cauchy 1502 1505 1507 1509 1601 1602 1605 1606 1607 1700 1750 1750 1752 1755 3.2f Umordnung,unbedingt-, bedingt konverget Riemanscher Umordnungssatz absolut konvergente Reihen/unbedingte Konvergenz 1765 3.2ff Doppelreihensatz, Definition Doppelreihen/Konvergenz Cauchy’scher Doppelreihensatz Großer Umordnungssatz Vertauschung von Grenzwerten Expotential-funktion, reihe für komplexe Zahlen Cauchyprodukt von Reihen Cauchy Produktsatz 1768 1777 1779 1781 1782 1783 1800 1801 1803 1804 3.3 Dual- und Dezimalzahlen g-adische Zahldarstellung reeller Zahlen g-adische Entwicklung periodische Entwicklung Q 1900 3.4 Abelsche partielle Summation, Dirichlet-Kriterium Konvergenzkriterium von Du Bois-Reymond Konvergenzkriterium nach Dedekind 2000 2000 2003 3.5 Potenzreihen Konvergenzradius Gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen 2050 2050 3.5f 1902 Konvergenzradius „differenzierte“ „integrierte“ Reihe Umentwicklung einer PR Abelscher Grenzwertsatz 2053 2056 2100 2100 2103 2105 2105 2106 3.6 2150 2150 P36f 2200 4 Funktionsgrenzwerte und stetige Funktionen 2200 4.1 Topologische Begriffe Umgebung, Menge aller inneren Punkte, offener Kern von M, offene Menge Häufungspunkt, abgeschlossene Hülle von M Kompakte Menge, Randpunkt, isolierter Punkt, uneigentlicher HP von M 2201 Spezielle Potenzreihen und Funktionen Eigenschaften der komplexen Expotentialfunktion Einheitskreis, Bogenmaßwinkel Umfang Einheitskreis, Zusammenhang Expotentialfkt Definitionen sin, cos Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Hyperbolische Funktionen Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen 2002 2203 2204 2300 2300 2303 2304 2305 2307 2315 2350 2354 2355 2356 2359 Definitionen für C Vereinigung aller offenen Teilmengen von M Durchschnitt aller geschlossenen Obermengen von M 4.2 Funktionsgrenzwerte, Konvergenz Funktionenfolgen Definitionen Konvergenz von Funktionen Monotone Funktion beschränkte Funktion Funktionen Konvergenz Folgenkriterium Funktionen Konvergenz Cauchykriterium Funktionen Konvergenz Grenzwertregeln Grenzwert monotoner & beschränkter Funktionen 4.2f Funktionenfolgen, punktweise-, gleichmäßige Konvergenz Funktionenreihen punktweise-, gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge Cauchykriterium gleichm Konvergenz Funktionenreihe gleichmäßige Konvergenz Majorantenkriterium zu Funktionenreihen 2400 4.3 2403 2408 2404 2405 2411 2412 2450 4.3f 2454 2455 2459 2500 2500 2501 2530 2533 2534 2535 2536 2536 2539 2560 2563 2565 2567 4.4 Stetige Funktionen Folgenstetigkeit Stetigkeit Funktionenfolgen, Stetigkeit Funktionenreihen Rechenregeln zu Stetigkeit Stetigkeit bei glm konvergenter Funktionenfolge gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge Stetigkeit Potenzreihen Identitätsssatz für Potenzreihen Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen Fibonnacizahlen Hauptsätze über stetige Funktionen Zwischenwertsatz zu stetigen Funktionen Nullstellen 4.4f Umkehrfunktion und Stetigkeit sin cos Werte zwischen 0 und 2 Definition Periodizitäten und Idenditäten der trigonometrischen Funktionen Umkehrfunktionen zu sin, cos,... Parametrisierung des Einheitskreises in C Definition Logarithmus 4.4ff Globale Extrema Gleichmäßige Stetigkeit Gleichmäßige Stetigkeit von f Beschränktheit f(M) 2700 5 2700 2702 2704 2706 5.1 2710 2750 2755 2757 2800 2800 2802 2803 2804 Differentialrechnung Der Begriff der Ableitung, höhere Ableitungen stetig differenzierbar Differenzierbarkeit Differenzieren Potenzreihen, Konvergenzradius differenzierte Reihe Expotential-, trigonometrische-, hyperbolische Funtionen sind differenzierbar 5.1f Differentiationsregeln Folgerungen Produktregel für höhere Ableitungen 5.2 2806 2807 2808 2810 2850 5.2f 2856 2857 2858 2859 2860 2863 Extrema, Mittelwertsätze der Differentialrechnung notwendige Bedingung für lokale Extrema Satz von Rolle Mittelwertsatz der Differentialrechnung Erweiterter Mittelwertssatz der Differentialrechnung Monotonie und Ableitung notwendige Bedingung für lokale Extrema anderer Beweis Maximum, Minimum Zwischenwertsatz von Darboux Näherungen Newtonverfahren 1.)Grenzwertregel von de l’Hospital konvexe bzw. konkave Funktionen Satz von Young Satz von Hölder, Minkovsky Konvexität und Ableitung Satz zu Konvexität (Konkavität) Wendepunkt, notwendige Bedingung Trigonometrische Funktionen Der Satz von Taylor n-fache Nullstellen von Funktionen Potenzreihen....Ableitungen n-tes Taylorpolynom und Restglied Satz von Taylor Taylorreihe um Entwicklungspunkt x0. Hinreichende Bedingung für lokale Extrema bzw. Wendepunkte 2900 2900 2901 2902 2903 2911 2914 5.3 3000 3000 3000 3002 5.4_5.5_5.6 5.4 Gliedweises Differenzieren Vertauschung von Grenzwertübergängen Gliedweises differenzieren von Folgen und Reihen 3004 5.5 Die Zahl Pi und die Arcusfunktion 3006 3007 5.6 Nullstellen der trigonometrischen Funktionen Ableitung arc... Funktionen Das Argument und der Logarithmus einer komplexen Zahl z=r(cos +isin )=rei , 3008 3100 6 Integralrechnung 3100 3100 3101 3102 3103 3107 3113 3116 3117 6.1 Riemannsummen und Riemannintegral Zerlegungen, Zwischenpunktvektoren Ober- und Untersummen, Ober-, Unterintegral Definition Integrierbarkeit Zusammenhänge zu Ober-, Untersummen Ober-, Untersummen, Ober-, Unterintegral Riemann-Integrierbarkeit und Zwischenpunktsummen Riemann Integrierbarkeitskriterium Fundamentalabschätzung 3200 3200 3204 3205 3206 3207 3209 6.2 Integrierbarkeit von Funktionen Setige und monotone Funktionen R-integrierbar Produkte, Summen integrierbarer Funktionen f<g Verknüpfte Funktionen und Lipschitzbedingung Integration über [a,c],[c,b] Mittelwertsatz der Integralrechnung 3300 3303 3307 6.3 Hauptsätze der Differenzial- und Integralrechnung Stammfunktin, Hauptsatz der DI F+c Stammfunktion 3400 3400 6.4 Weitere Ergebnisse Partielle Integration 3402 3405 3410 3411 3412 3413 3500 3500 3504 3507 Substitutionsregel Integration von Ungleichungen Mittelwert, Mittelwertsatz der Integralrechnung Erweiterter Mittelwertsatz der Integralrechnung 2. Mittelwertsatz der Integralrechnung Gliedweise Integration 6.5 Die Partialbruchzerlegung Fundamentalsatz der Algebra Partialbruchzerlegung im Komplexen Partialbruchzerlegung reeller rationaler Funktionen 3600 3600 3601 3603 3604 3605 6.6 Der Taylorsche Satz n fache Stammfunktion Satz von Taylor lokale Max/Min und 2n- 2n+1 fache Differenzierung Taylorpolynom und Restglied Binominalreihe 3700 3702 3703 6.7 Uneigentliche Integrale Cauchy Kriterium für uneigentliche Integrale absolut uneigentlic integrierbar zu uneigentlichen Integralen absolute Konvergen...Konvergenz zu Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale Integralkriterium für Reihen 3800 6.8 Die Gamma-Funktion Eulersche Summenformel 3900 6.9 Einführung zu Parameterintegralen 4000 4000 7 Topologie 7.1 Euklidischer Raum Rm. kanonisches Skalarprodukt 7.2 metrische Räume Konvergenz, Häufungswerte, Cauchyfolgen usw vollständiger metrischer Raum 7.3 Mengentopologien in metrischen Räumen innerer Punkte, offene Mengen usw 3704 3705 4000 4001 4003 4005
