© R. Plato Kapitel 15 Reihen P1 Proposition 15.6. Eine Reihe nDn0 an konvergiert genau P1 dann, wenn für irgendein n1 n0 die Reihe nDn1 an konvergiert. In diesem Fall gilt dann 1 X nDn0 an D nX 1 1 nDn0 an C 1 X an : M nDn1 Satz 15.7 (Rechenregeln für Für P1konvergentePReihen). 1 zwei konvergente Reihen a und b und nDn0 n nDn0 n ˛ 2 C gelten die beiden folgenden Aussagen: P1 bn /, und für a) Es konvergiert die Reihe nDn0 .an C P P1 1 .a C b / D den Grenzwert gilt n nDn0 an C nDn0 n P1 nDn0 bn . P1 .˛an /, und für den b) Es konvergiert die Reihe nDn 0 P1 P1 Grenzwert gilt nDn0 .˛an / D ˛ nDn0 an . a) an > 0; Gege- P1 a) (Majorantenkriterium) Ist die Reihe nDn0 bn konP1 vergent, so ist auch die Reihe nDn0 an konvergent. P1 b) (Minorantenkriterium) Ist die Reihe nDn0 an diP1 vergent, so ist auch die Reihe nDn0 bn divergent. Beweis. Das Majorantenkriterium ergibt sich aus Satz 14.8 auf Seite P 27, angewendet auf die r Partialsummen-Folge sr D nDn0 an für r n0 . Die in dem genannten Satz geforderte Monotonie der Partialsummen sn0 ; sn0 C1 ; : : : ergibt sich aus der Nichtnegativität der Summanden an , und die Beschränkheit der Partialsummen folgt so: b) anC1 an .n n0 /; wobei die obere Schranke in b) eine reelle Zahl sei, die die P1Bedingung 0 < < 1 erfülle. Dann ist die Reihe nDn0 an konvergent. Beweis. Dies folgt leicht aus dem Majorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung der Notation n0 D 0 an. Die Bedingung b) bedeutet nämlich anC1 an für n 0, und vollständige Induktion liefert an n a0 für n 0. Die Konvergenz der geometrischen Reihe und das Majorantenkriterium liefern nun die Konvergenz P1 der Reihe nD0 an . Beispiel 15.10. P1 Wir1 testen das Quotientenkriterium an der Reihe nD1 nŠ . Diese Reihe ist von der Form nD1 an , Es gibt für Reihen verschiedene Konvergenzkriterien. Die Wichtigsten davon werden im Folgenden kurz vorgestellt. Satz 15.8 (Majoranten-/Minorantenkriterium). ben seien reelle Zahlen 0 an bn .n n0 /. Satz 15.9 (Quotientenkriterium). Gegeben seien reelle Zahlen an .n n0 / mit P1 15.4 Konvergenzkriterien für Reihen 29 1 2 mit an D 1 nŠ . Hier gilt anC1 an D nŠ .nC1/Š D 1 nC1 DW für n D 1; 2; : : : . Das Quotientenkriterium ist also erfüllt und diese Reihe deshalb konvergent. M Bemerkung. Man beachte, dass das Quotientenkriterium (ebenso wie das nachfolgende Wurzelkriterium) nur ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe darstellt. Umgekehrt gibt es nämlich konvergente Reihen, bei denen das Majorantenkriterium verP1 letzt ist. So ist z. B. die Reihe nD1 n12 konvergent (der Beweis wird hier nicht geführt), das Quotientenkriterium ist jedoch wegen sicher nicht erfüllt. anC1 an 2 n D . nC / ! 1 für n ! 1 1 Satz 15.11 (Wurzelkriterium). Gegeben seien reelle Zahlen an .n n0 / mit a) an 0; b) p n an .n n0 /; wobei die obere Schranke in b) die Bedingung 0 < < 1 P1 erfülle. Dann ist die Reihe nDn0 an konvergent. Dabei geht die Voraussetzung an bn ein. Das Minorantenkriterium erhält man analog. Es ergibt sich auch als logische Negation des Majorantenkriteriums. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus dem Majorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung der Notation n0 D 0 an. Die Bedingung b) bedeutet an n für n 0. Die Konvergenz der geometrischen Reihe und das Majorantenkriterium liefern nun die Konvergenz der Reihe P1 a . n nD0 Das Majorantenkriterium wird für die Beweise der beiden folgenden Konvergenzkriterien für Reihen benötigt. Beispiel. Wir testen das Wurzelkriterium an der Reihe p P1 1 n 1=nn D n1 12 für n D 2; 3; : : :, nD2 nn . Es gilt das Wurzelkriterium ist also erfüllt und die betrachtete Reihe daher konvergent. M sr D r X nDn0 an r X nDn0 bn ! 1 X nDn0 bn .r n0 /: 30 © R. Plato Teil II Analysis 1 Wir stellen ein Konvergenzkriterium für Reihen Pnun 1 n der Form nDn0 . 1/ cn mit cn > 0 vor (die Summanden haben also wechselndes Vorzeichen). Definition P1 15.12 (Alternierende Reihen). Man bezeichnet nDn0 an als alternierende Reihe, falls an .n n0 / eine Folge reeller Zahlen ist, die die folgenden Eigenschaften besitzt: die Folge .an / ist alternierend, d. h. für jedes n n0 gilt entweder anC1 < 0 < an oder an < 0 < anC1 ; es ist .an /nn0 eine Nullfolge, d. h. es gilt an ! 0; Die Folge der Beträge .jan j/nn0 ist monoton fallend. P1 15.5 Absolute Konvergenz von Reihen Wir stellen nun einen weiteren (und stärkeren) Konvergenzbegriff für Reihen vor. Er ermöglicht bei Reihen in vielen Fällen vereinfachte Konvergenzbetrachtungen. Er erweist sich außerdem z. B. bei der Bildung des Produktes von Reihen als hilfreich. P1 Definition 15.18. Eine Reihe nDn0 an mit komplexen Zahlen an0 ; an0 C1 ; : : : nennt man absolut konvergent, P1 falls die Reihe nDn0 jan j konvergent ist. Satz 15.19. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. . 1 /n Beispiel 15.13. Es stellt nD1 n eine alternierende Reihe dar. Man sieht leicht ein, dass die Summanden . 1 /n die drei geforderten Eigenschaften aus Definitin on 15.12 erfüllt. M Satz 15.14 (Leibnizkriterium). Jede alternierende Reihe ist konvergent. Wird hier nicht geführt. Bemerkung 15.15. Das Verhalten von endlich vielen, beliebig ausgewählten Summanden hat keinen Einfluss auf die Konvergenz einer Reihe (siehe Proposition 15.6 auf Seite 29). Daher genügt es, wenn in Satz 15.8 (Majoranten-/Minorantenkriterium), Satz 15.9 (Quotientenkriterium) beziehungsweise Satz 15.11 (Wurzelkriterium) die jeweils genannten Bedingungen erst für Indizes n n1 erfüllt sind, mit einem n1 n0 . Das Gleiche gilt für alternierende Reihen (siehe Definition 15.12 und Satz 15.14). M P1 1 Beispiel 15.16. Die Reihe da nD0 nŠ ist konvergent, P1 1 das Quotientienkriterium für die Reihe (der nD1 nŠ Startindex ist hier zu n D 1 abgeändert) erfüllt ist (siehe Beispiel 15.10). M Der Beweis wird hier nicht geführt. P1 n i Beispiel. Es ist die Reihe nD0 nŠ absolut konvergent, P1 1 denn die Reihe nD0 nŠ ist konvergent (siehe Beispiel 15.16) und es gilt jP in j D 1 für n D 0; 1; : : : . Nach 1 in damit konvergent. M Satz 15.19 ist die Reihe nD0 nŠ Die Umkehrung der Aussage aus Satz 15.19 gilt nicht, wie das folgende Beispiel zeigt: P1 . 1 /n Beispiel. Es ist eine alternierende Reihe. nD1 n und damit konvergent (siehe Definition 15.12, Beispiel 15.13 und Satz 15.14). Diese Reihe ist jedoch nicht absolut konvergent, denn die Beträge Summanden erP1 der 1 , geben die harmonische Reihe nD1 n bei der es sich um eine divergente Reihe handelt (siehe Beispiel 15.5). M Summen und skalare Vielfache absolut konvergenter Reihen sind wieder absolut konvergent: Satz 15.20 (Regeln für absolut konvergente Reihen). P1 Für zwei absolut konvergente Reihen nDn0 an und P1 b und ˛ 2 C konvergieren auch die beiden ReinDn P0 1n P1 hen nDn0 .an C bn / und nDn0 ˛an absolut. Aus der vorigen Bemerkung und den Sätzen 15.9 beziehungsweise 15.11 ergibt sich unmittelbar das folgende Resultat. Es liefert Varianten des Quotienten- und des Wurzelkriteriums, wobei dabei die auftretenden Bedingungen gelegentlich leichter zu überprüfen sind. Beweis. Das folgt leicht mit Satz 15.7 auf Seite 29 und dem Majorantenkriterium. Details werden hier nicht vorgestellt. Satz 15.17. Für gegebene reelle Zahlen an konvergiert P1 die Reihe nDn0 an , falls für ein Zahl 0 < 1 eines der beiden folgenden Kriterien erfüllt ist: 15.6 Cauchy-Produkt von Reihen anC1 a) an ! für n ! 1; p b) n an ! für n ! 1; wobei in a) noch an > 0 ab einem n n1 und in b) an 0 ab einem n n1 vorausgesetzt wird. Wir stellen nun ein Resultat über das Produkt zweier absolut konvergenter Reihen vor. Es wird für die Herleitung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion benötigt.