UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Moritz Weber Klausur zur Vorlesung Analysis I Sommersemester 2015 Mittwoch, 5.8.2015, 9:00 – 12:00 Uhr ———————————————————————————————— Willkommen zur Klausur der Vorlesung Analysis I • Die Klausur dauert 3:00 Stunden, sie beginnt um 9:00 Uhr und endet um 12:00 Uhr. • Bitte tragen Sie Ihre persönlichen Daten auf diesem Blatt ein und unterschreiben Sie dieses. • Für diese Klausur sind keine Hilfsmittel zugelassen. • Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis zur Kontrolle auf den Tisch. • Schreiben Sie bitte Ihre Lösungen auf die ausgegeben Aufgabenblätter. Sollte Ihnen der Platz nicht reichen, benutzen Sie bitte die Rückseiten der Blätter und machen Sie kenntlich, um welche Aufgaben es sich jeweils handelt. • Beschriften Sie bitte auch alle Schmierblätter mit Ihrem Namen und geben Sie diese mit ab. • Bitte schreiben Sie weder in rot noch mit Bleistift. Viel Erfolg! Nachname: Vorname: Geburtsdatum: Matrikelnummer: Semesterzahl: Fachrichtung: Unterschrift: 1 2 3 4 5 6 7 8 Zus.∗ BP Summe Note Aufgabe 1 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Im Folgenden werden einige Grundbegriffe der Vorlesung abgefragt. (a) Definieren Sie, was ein Supremum einer Menge M ⊂ R ist. Geben Sie ein Beispiel einer Menge M ⊂ R an, dessen Supremum 1 ist. (b) Definieren Sie in Quantorenschreibweise, wann eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen gegen a ∈ R konvergiert. Negieren Sie auch die Aussage. (c) Definieren Sie, wann eine Funktion monoton fallend heißt. Geben Sie auch ein Beispiel einer solchen Funktion an. (d) Definieren Sie, wann eine Funktion f : D → R differenzierbar in x ∈ D ist. Geben Sie auch ein Beispiel einer Funktion an, die differenzierbar auf ganz R ist. (e) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f : N → N an, die injektiv aber nicht surjektiv ist. Geben Sie außerdem noch ein Beispiel einer Funktion f : N → N an, die surjektiv aber nicht injektiv ist. Aufgabe 2 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Im Folgenden werden einige Sätze der Vorlesung abgefragt. Geben Sie dabei alle Voraussetzungen an. (a) Was besagt die Kettenregel für differenzierbare Funktionen? (b) Was ist eine geometrische Reihe und was ist ihr Grenzwert? (c) Was besagt das Vollständigkeitsaxiom? (d) Formulieren Sie das Konvergenzkriterium für alternierende Reihen. (e) In welchem Zusammenhang stehen Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit? Wann impliziert das eine das andere und umgekehrt? Aufgabe 3 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Geben Sie bei den folgenden Aussagen jeweils an, ob sie für alle Folgen (an )n∈N wahr oder ob sie falsch ist. (Ohne Begründung!) Für eine richtige Antwort bekommen Sie 2 Punkte, für eine falsche 2 Minuspunkte. Falls Sie bei dieser Aufgabe mehr Minuspunkte als Pluspunkte sammeln, wird die Aufgabe mit Null Punkten gewertet. (a) Gibt es eine Zahl q < 1 mit p n |an | ≤ q für alle n ∈ N, so ist (an )n∈N eine Nullfolge. (b) Ist (an )n∈N konvergent, so ist auch (akn )n∈N konvergent für jedes k ∈ N. (c) Gibt es eine Zahl K > 0, so dass |an | < K ist für alle n ∈ N, so ist sup{an | n ∈ N} < K. (d) Ist (an )n∈N bestimmt konvergent gegen unendlich und ist an > 0 für alle n ∈ N, so P∞ 1 −n konvergiert n=1 an e . (e) Ist (a2n )n∈N konstant, so ist (an )n∈N konvergent. Aufgabe 4 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Geben Sie bei den folgenden Aussagen jeweils an, ob sie für alle Funktionen f : [−1, 1] → R wahr oder ob sie falsch ist. (Ohne Begründung!) Für eine richtige Antwort bekommen Sie 2 Punkte, für eine falsche 2 Minuspunkte. Falls Sie bei dieser Aufgabe mehr Minuspunkte als Pluspunkte sammeln, wird die Aufgabe mit Null Punkten gewertet. (a) Ist f stetig, so gibt es ein x ∈ [−1, 1] mit f (x) ≥ f (y) für alle y ∈ [−1, 1]. (b) Ist f differenzierbar, so gibt es ein x ∈ [−1, 1] mit f (x) ≥ f (y) für alle y ∈ [−1, 1] und f 0 (x) = 0. (c) Ist f differenzierbar und f 0 (x) > 0 für alle x ∈ [−1, 1], so ist f injektiv. (d) Die Menge {f ( n1 ) | n ∈ N} ist abzählbar. (e) Ist f stetig und z ∈ R mit |f (−1)| ≤ |z| ≤ |f (1)|, so gibt es ein x0 ∈ [−1, 1] mit f (x0 ) = z. Aufgabe 5 (3+3+4=10 Punkte). Begründen Sie bei den folgenden Berechnungen alle Schritte. (a) Was ist der Grenzwert der Folge: an = Im (3n + 2i)(7 − ni) n2 (b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion x e − e−x f (x) = sin π 2 an der Stelle x = 0. (c) Was ist der Grenzwert der Folge: bn = √ 9n2 + 2n + 1 − 3n Aufgabe 6 (3+3+4=10 Punkte). Begründen Sie bei den folgenden Berechnungen alle Schritte. (a) Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert: ∞ X 1 n=1 1 − n n+2 (b) Berechnen Sie den Wert der obigen Reihe. (c) Berechnen Sie den Wert des Integrals: Z π 2 t cos t dt 0 Aufgabe 7 (3+3+4=10 Punkte). Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, die gegen a ∈ R konvergiert. (a) Impliziert an ≥ 0 für alle n ∈ N, dass auch a ≥ 0 ist? (Beweis oder Gegenbeispiel) (b) Impliziert an > 0 für alle n ∈ N, dass auch a > 0 ist? (Beweis oder Gegenbeispiel) (c) Es konvergiere (an )n∈N nicht nur gegen a ∈ R sondern auch gegen b ∈ R. Zeigen Sie, dass dann a = b gilt. Begründen Sie all Ihre Schritte. Aufgabe 8 (5+5=10 Punkte). Sei f : (a, b) → R eine Funktion und x ∈ (a, b). (a) Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (i) Für alle ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle y ∈ (a, b) mit |x − y| < δ gilt: |f (x) − f (y)| < ε. (ii) Für jede Folge (xn )n∈N mit xn ∈ (a, b) und xn → x für n → ∞ gilt: f (xn ) → f (x) falls n → ∞. Begründen Sie all Ihre Schritte. (b) Sei f : (a, b) → R differenzierbar mit einer differenzierbaren Umkehrfunktion. Zeigen Sie, dass f dann keine lokalen Extrema hat. Begründen Sie all Ihre Schritte. Zusatzaufgabe∗ (10∗ Punkte). Sei I ⊂ P(N)\{∅} die Menge der nicht-leeren endlichen Teilmengen von N. Wir definieren aE := 4− max E für E ∈ I. Zeigen Sie, dass die Familie (aE )E∈I summierbar ist und berechnen Sie deren Wert.