Mathematik für Elektrotechniker grosse Übung 3

Mathematik für Elektrotechniker
grosse Übung 3
Prof. Dr. Volker Bach, Dr. Sébastien Breteaux,
Institut für Analysis und Algebra.
Ergänzungen 3.0 Wie ist eine Quadratwurzel zu berechnen? (Was passiert in einem
Tachenrechner?)
√
Sei a ein reelle Zahl, a ≥ 1. Wir wollen
√ die Quadratwurzel a berechnen. Wir werden eine
Folge von Zahlen konstruieren, die gegen a konvergiert.
Sei f : (0, ∞) → (0, ∞) eine Abbildung, definiert durch
f (x) =
1
a
x+
.
2
x
Für x > 0 gilt
f (x) = x
⇔
x2 = a
⇔
x=
√
a,
d.h. wir suchen ein Fixpunkt von f . Sei die Folge (xn )∞
n=1 durch
x1 := a ,
definiert. Wenn sie gegen ein x∞
∀n ∈ N ,
xn+1 := f (xn )
√
> 0 konvergiert, ist x∞ = a.
und
Für alle natürliche Zahlen n ∈ N, xn >
• Induktionsaussage: ∀n ∈ N,
• Induktionsanfang: x1 = a >
xn >
√
√
√
a. Wir zeigen durch Induktion, dass
a.
a weil a ≥ 1.
• Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass xn −
√
a > 0. Dann
√
√
√
1
a √
1 x2n + a − 2xn a
1 (xn − a)2
xn+1 − a = xn +
− a=
=
> 0.
2
xn
2
xn
2
xn
Es folgt durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ N, xn −
√
a > 0 gilt.
Die Folge (xn )∞
n=1 ist monoton fallend. D.h. ∀n ∈ N, xn+1 − xn < 0. Diese Ungleichung
gilt, weil
1
a 1
a 1 −x2n + a xn+1 − xn = xn +
− xn =
− xn +
=
<0
2
xn
2
xn
2
xn
√
wobei wir xn < a benutzt haben.
√
a. Die Folge (xn )∞
Die Folge (xn )∞
n=1 konvergiert gegen
n=1 ist nach unten beschränkt und
∞
monoton fallend,
also
ist
(x
)
konvergent
gegen
ein
x
∈
R.
n n=1
√
√
Aus xn > a folgt x ≥ a.
Aus xn+1 = 12 (xn + xan ) folgt
1
a
x = (x + ) ,
2
x
also
x
2
=
a
2x
und x2 = a. Somit
x=
√
1
a.
Beispiel a = 2.
Wir haben
x1 = 2
x2 = 1.500000000000000
x3 = 1.416666666666667
x4 = 1.414215686274510
x5 = 1.414213562374690
x6 = 1.414213562373095
x7 = 1.414213562373095
x8 = 1.414213562373095
..
.
Aufgabe 3.1 Limes Inferior und Superior
∞
∞
Bestimme den Limes Inferior und Limes Superior der Folgen (an )∞
n=1 , (bn )n=1 und (cn )n=1 .
(Begründung!)
1. an := (−1)n ,
2. bn :=
2
cos( π
8 n)n+n
,
n2
3. cn :=
n+5
n+8 .
Aufgabe 3.2 Reihenkonvergenz
Bestimme
∞ k
X
2
πk
1. s(1) :=
cos( ),
3
3
k=1
Entscheide ob folgende Reihen absolut konvergent sind oder nicht.
n
X
2. s(2)
:=
k,
n
k=1
3. s(3)
n :=
n
X
cos(k)
k=1
7k
,
Aufgabe 3.3 Majorantenkriterium: Die Reihe sn :=
Sei α > 1 und die Reihe
n
X
1
sn :=
.
kα
Pn
1
k=1 kα
konvergiert für α > 1.
k=1
1. Beweise, dass für alle natürlichen Zahlen k ∈ N grösser als 2, die Ungleichung
ˆ k
1
1
≤
dx
α
α
k
k−1 x
gilt.
2. Beweise, dass die Reihe durch
s0n :=
n ˆ
X
k=2
k
k+1
1
dx
xα
definiert, konvergent ist.
3. Folgere, dass die Reihe sn :=
n
X
1
konvergent ist, falls α > 1.
kα
k=1
2
Aufgabe 3.4 Abzählbarkeit
Sind die folgende Mengen abzählbar?
1. Die Menge der ganzen Zahlen Z.
2. Die Menge R × Z.
Aufgabe 3.5 Vektorraum oder nicht?
Sind die folgenden Räume Vektorräume?
Teilmengen von R2 :
1. Ist (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1 ein R-Vektorraum?
2. Ist (x, y) ∈ R2 x = 1 ein R-Vektorraum?
Folgen:
3. Ist die Menge RN = (an )n∈N ∀n ∈ N, an ∈ R der Folgen in R ein R-Vektorraum?
Funktionen:
4. Ist f : x ∈ R 7→ ax + b ∈ R a, b ∈ R die Menge der affinen Abbildungen von R nach R
ein Teilvektorraum der Menge der Funktionen von R nach R?
5. Ist f : x 7→ a cos(x + b) a, b ∈ R ein Teilvektorraum des R-Vektorraums der Funktionen
von R nach R?
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