Blatt 7

Prof. Stefan Teufel, Wolfgang Gaim
Mathematisches Institut, Universität Tübingen
Wintersemester 2016/2017
29.11.2016
Analysis 1
Übungsblatt 7
Aufgabe 29: Polynomdivision
a) Sei p ein reelles Polynom. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 3.18, dass λ ∈ R genau dann
Nullstelle von p ist, wenn x − λ ein Teiler von p ist, also
p(λ) = 0
⇔
(x − λ) | p .
b) Kürzen Sie
x5 + 9x4 + 31x3 + 51x2 + 40x + 12
(x2 − 1)(x2 − 4)
so weit wie möglich mittels geeigneter Polynomdivision.
Aufgabe 30: Die trigonometrischen Funktionen
a) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme, dass für ϕ ∈ R
(i) 1 − cos(ϕ) = 2 sin2 (ϕ/2),
(ii) 1 + cos(ϕ) = 2 cos2 (ϕ/2).
b) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme, dass der Tangens für ϕ ∈ (−π/2, π/2) streng
monoton wachsend ist, indem Sie tan(ϕ) − tan(ψ) für −π/2 < ϕ < ψ < π/2 betrachten.
Aufgabe 31: Komplexe Zahlen
a) Sei z ∈ C mit Realteil x und Imaginärteil y, also z = x + iy. Zeigen Sie, dass gilt
(i) |z|2 = z · z,
(ii) Re z = (z + z)/2,
(iii) |Re z| ≤ |z|,
Im z = (z − z)/(2i),
|Im z| ≤ |z|,
b) Seien z1 , z2 ∈ C mit z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 . Zeigen Sie, dass gilt
(i) z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1 z2 = z1 z2 ,
(ii) |z1 z2 | = |z1 | · |z2 |.
(iii) z1 /z2 = (z1 z2 )/|z2 |2 .
c) Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag von z =
3 + 4i
2−i
+
.
1 − 2i
2 − 3i
Aufgabe 32: Folgen komplexer Zahlen
Eine Folge (zn ) in C heißt konvergent gegen z ∈ C, falls
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n ≥ nε : |zn − z| < ε.
Zeigen Sie:
a) Eine Folge (zn ) in C ist genau dann konvergent gegen z = x + iy, wenn die Folge (xn ) =
(Re zn ) der Realteile gegen x = Re z und die Folge (yn ) = (Im zn ) der Imaginärteile gegen
y = Im z konvergiert (im Sinne reeller Folgen).
b) Jede beschränkte Folge (zn ) in C, also |zn | < C für ein C ∈ R und alle n ∈ N, hat einen
Häufungspunkt.
Eine Folge (zn ) in C heißt Cauchyfolge, falls
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n, m ≥ nε : |zn − zm | < ε.
c) Zeigen Sie, dass jede Cauchyfolge (zn ) in C gegen ein z ∈ C konvergiert.
Tipp: Verwenden Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 31 (a) (iii) sowie die entsprechenden Sätze aus
dem Reellen!
Aufgabe 33: Nochmals Stetigkeit (BScM)
Entscheiden Sie jeweils mit Beweis, ob die folgenden Funktionen am Punkt x0 = 0 stetig sind:
a) f : R → R, f (x) =
b) g : R → R, g(x) =
√
x2 +1
x
0
c) h : R → R, h(x) =
1
e− x für x > 0
0 für x ≤ 0
−
1
x
für x 6= 0
für x = 0
sin( x1 ) für x 6= 0
0
für x = 0
Hinweis: Die mit (BScM) gekennzeichnete Aufgabe kann und soll von allen bearbeitet werden,
zählt jedoch nur für die Studierenden des Fachs Bachelor of Science Mathematik zum Gesamtaufgabenpool, aus dem 50% der Aufgaben für die Klausurzulassung erfolgreich bearbeitet werden
müssen.
Abgabe: Am Montag den 5.12.2016 zwischen 9.15 Uhr und 12.15 Uhr gegenüber von Büro A17
im Gebäude C, Ebene 6. Dort liegen Mappen mit den Namen der Übungsgruppenleiter bereit.
Bitte legen Sie Ihre schriftliche Ausarbeitung in die Mappe Ihres Übungsgruppenleiters. Wer dies
explizit mit seinem Übungsgruppenleiter bzw. seiner Übungsgruppenleiterin vereibart hat, kann
ihm/ihr die Lösungen auch eingescant bis spätestens 12.15 Uhr per E-Mail schicken. In diesem
Fall geben Sie das Orinigal Ihrer Lösung in der Vorlesung am 6.12.2016 ab.