1. Proseminar Höhere Mathematik I

1. Proseminar Höhere Mathematik I
Aufgaben für den 9.10.2012
1. Gegeben seien folgende Teilmengen der natürlichen Zahlen N bzw. der ganzen Zahlen Z:
A = {n ∈ N : n ungerade},
B = {n ∈ N : n ≤ 21 und n Primzahl},
C = {1, 2, 8},
D = {2n − 3 : n ∈ N},
E = {−x : x ∈ D}.
(a) Bestimmen Sie folgende Mengen:
A ∩ B,
(A ∩ C) ∪ B,
(A ∩ B) × C,
(A ∪ A) \ (A \ (A ∩ A)),
B \ A,
(A ∪ B) \ B,
(A \ D) × (D \ A).
(b) Beschreiben Sie A mittels C, D und E.
(c) Bestimmen Sie die Potenzmenge von C. (Das ist die Menge aller Teilmengen von C.)
2. Es sei 1 = {∅}, 2 = {∅, 1}, 3 = {∅, 2}, 4 = {∅, 3} und
A = 1, 2, 3, 4, {1}, {2, 3}, {1, 2, {1}} .
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
1 ∈ A,
{1} ∈ A,
{1} ⊂ A,
2 ⊂ A,
{2} ⊂ A,
{{2}} ⊂ A,
{2, 1, {1}} ∈ A,
{2, 3} ⊂ A,
{3, 4} ∈ A,
{1, 2, {1}} ⊂ A,
∅ ∈ A.
3. Geben Sie jeweils drei Mengen A, B, C und E, F, G an für die gilt:
(A ∩ B) ∪ C 6= A ∩ (B ∪ C),
(E ∩ F ) ∪ G = E ∩ (F ∪ G).
4. Gegeben seien die beiden Dreiecke
D1 = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x ,
D2 = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2 .
Geben Sie rechnerisch die Schnittmenge D1 ∩ D2 an, und skizzieren Sie diese.
5. Berechnen Sie Realteil < bzw. Imaginärteil =:
<
1
,
−2 + 3i
=
1−i
,
2 + 5i
< 3(2 + i)2 − 3i ,
=
2+i
.
3 − 4i
6. Skizzieren Sie folgende Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene, wobei <(z) der
Realteil von z ist:
A = {z ∈ C : z̄ = z},
B = {z ∈ C : | − z − i − 2| ≤ 3},
C = {z ∈ C : −2 ≤ <z < 1, |=z| < 2},
D = {z ∈ C : <((2 + 3i)(z − i)) = 0}.