Auswahl aus Klausuraufgaben zu ”Komplexe Zahlen” 1. Bestimmen

Auswahl aus Klausuraufgaben zu ”Komplexe Zahlen”
1. Bestimmen und skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Teilmengen
A, B, C, D mit:
A = {z ∈ C : z · z + z + z ≥ 4}
B = {z ∈ C : |z| ≤ 4, 0 ≤ arg z ≤ π}
√
C = {z ∈ C : z 3 = 243 − 27i}
D = {z ∈ C : |z + 3| + |z + 3| ≥ 2}.
2. Bestimmen Sie Betrag und Argument der komplexen Zahlen
√
√
( 2 + 6i)8
z1 =
1+i
z
z2 = , z ∈ C \ {0}.
z
3. Man bestimme Real- und Imaginärteil von
³ 1 + i ´n ³ 1 − i ´n
zn = √
+ √
2
2
für n = 1, 2, 4, 9.
√
√
4. Überprüfen Sie, ob z0 = 1 − 3i und z1 = −1 − 3i komplexe Lösungen der
Gleichung
z 12 = 4096
sind.
5. Die komplexen Zahlen
π
z1 (t) = 50ei(t+ 4 )
π
z2 (t) = 100ei(t+ 2 )
mit t ≥ 0 beschreiben die komplexen Teilspannungen einer Reihenschaltung
zur Zeit t.
a) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller Punkte
z1 (t), z2 (t), 0 ≤ t ≤ π.
b) Skizzieren Sie die Funktionen
y1 (t) = Im z1 (t),
y2 (t) = Im z2 (t)
für 0 ≤ t ≤ 2π.
c) Bestimmen Sie den Imaginärteil der komplexen Summenspannung
¡π ¢
¡π ¢
z1
+ z2
.
4
4