Klausur-1

Institut für Mathematische Stochastik
Prof. Dr. R. Schilling
Probeklausur Mathematik I,1 für Studierende der Studiengänge
Elektrotechnik, Informationssystemtechnik, Mechatronik, Regenerative
Energiesysteme und Erziehungswissenschaften/ Elektrotechnik
1. (a) Ermitteln Sie und skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene das Spiegelbild
der komplexen Zahl z1 =
2
1−i
an der reellen Achse.
(b) Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlen
M1 = {z ∈ C : |z − z1 | = |z + 1 − i|}.
(c) Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlen
M2 = {z ∈ C : |z − 1| = 1}.
(d) Bestimmen Sie M1 ∩ M2 .
(e) Lösen Sie die Gleichung z 4 = 81 und stellen Sie die Lösungen in der Gaußschen
Zahlenebene dar.
2. Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten P1 (6, −2, −3), P2 (3, 0, 3) und P3 (4, 2, 1).
(a) Wie lautet die Gleichung der Ebene E, die diese Punkte enthält?
(b) Welchen Abstand hat die Ebene E vom Nullpunkt?
(c) Wo durchstößt die Gerade g : (x, y, z)T = (1 + 3t, 1 − 21 t, 1)T , t ∈ R,
die Ebene E?
(d) Wie groß ist der Neigungswinkel ϕ1 der Geraden g gegen die Normale von E?
(e) Wie groß ist der Neigungswinkel ϕ2 der Geraden g gegen die Ebene E?
3. Man bestimme dasjenige Polynom 3. Grades, das die Punkte P1 (0, 0) und P2 (4, 3)
enthält und in diesen Punkten eine waagerechte Tangente besitzt.
4. Bestimmen Sie diejenige gebrochen rationale Funktion f , für die gilt:
(a) Zähler- und Nennerpolynom sind vom Grad 2,
(b) bei x = 1 und x = −1 liegen Polstellen vor,
(c) die Asymptote ist y = 2,
(d) bei (0, −2) besitzt f ein Extremum.
Skizzieren Sie f .
5. Berechnen Sie den folgenden Grenzwert nach der Regel von de l’Hospital:
tan x − sin x
x→0
x3
lim
6. Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4. Grades für f (x) = ln(2 + x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0. Schätzen Sie den Fehler für 0 ≤ x ≤ 1 ab. ( ln 2 wird als bekannt
vorausgesetzt.)
7. Berechnen Sie den Wert der Determinante

1

A=
 2
3
D = det(A) mit

2 3

3 2 
.
1 2
Unter welchen Annahmen an die Matrizen X und A ist die Matrizen-Gleichung
X + X · 2A + X · A2 = E
(1)
eindeutig nach X auflösbar? (E bezeichnet die Einheitsmatrix)
8. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

1 −4
2

A=
 2 −8 −4
1 −4
a
Ax = b mit


,

b = (c, 4, 1)T .
(a) Bestimmen Sie die Lösungen des Gleichungssystems für
(i) a = 2, c = 1, (ii) a = −6, c = 3.
(b) Begründen Sie, weshalb es keine Parameter a, c gibt, für die das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
(c) Für welche Parameter besitzt das Gleichungssystem keine Lösung?
(d) Für welche Parameter ist der Rang von A gleich dem Rang der durch die Spalte
b erweiterten Matrix A?
9. (a) Stecken in der folgenden Berechnung des unbestimmten Integrals Fehler?
Z
Z
sin x cos x
1
dx =
d u = ln(|2u|) + C = ln(1 + x2 ) + D.
2
2u
1 + sin x
Markieren Sie fehlerhafte Gleichheitszeichen und korrigieren Sie die Rechnung.
Wie heißt die verwendete Methode?
2
x3 − 1
dx
x2 + 2x
mittels Partialbruchzerlegung an. Bestimmen Sie die unbekannten Konstanten
(b) Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung des Integrals
in diesem Ansatz und berechnen Sie das Integral.
3
Z