Mathematik I für Maschinenbauer

WS 2010/2011
Prof. Dr. Michael Dellnitz
Dipl.-Math. Anna-Lena Meyer
Dipl.-Math. Bianca Thiere
Mathematik I für Maschinenbauer
Übungsblatt 11
Hausübungen (Abgabe: 18.01.2011 bis 10:00 Uhr)
Aufgabe 11.1 (4+1 Punkte) In der Gaußschen Zahlenebene sei das Dreieck ∆
durch die Eckpunkte z1 = −1 − i, z2 = 2 und z3 = i gegeben. Hieraus entstehe
durch Drehung um den Nullpunkt um einen Winkel α = π6 und die Streckung mit
dem Faktor 2 das neue Dreieck ∆∗ .
(a) Bestimmen Sie die genauen Werte von Real- und Imaginärteil der Ecken z1∗ , z2∗
und z3∗ des Dreiecks ∆∗ .
(b) Zeichnen Sie die Dreiecke ∆ und ∆∗ in der Gaußschen Zahlenebene.
Hinweis: cos
π
6
√
=
3
2
und sin
π
6
= 12 .
Aufgabe 11.2 (7 Punkte) Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gaußschen Zahlenebene. Geben Sie bei Menge M5 eine ausführliche Rechnung an. Bei den anderen
Mengen genügt die Zeichnung. Vergessen Sie nicht anzugeben, ob die Ränder zu den
Mengen gehören.
a) M1 = {z ∈ C | π2 ≤ arg(z) ≤
3π
}
4
b) M2 = {z ∈ C | Im(z) − Re(z) ≤ 2}
c) M3 = {z ∈ C | |z| < 2} ∩ {z ∈ C | Re(z) ≥ 1}
d) M4 = {z ∈ C | 1 ≤ |Re(z)| ≤ 3 und 2 ≤ Im(z) ≤ 4}
e) M5 = {z ∈ C | |z| = Im(z) + 12 }
Aufgabe 11.3 (4 Punkte) Berechnen Sie
geeignet in vier Summen zerlegen.
P∞
k=0
ik +2
,
3k
indem Sie die Summe zunächst
Aufgabe 11.4 (4 Punkte) Gegeben sei die Funktion
1
1
f :R\ −
→ R, f (x) =
.
4
4x + 1
a) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion durch Grenzwertbildung.
b) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Ableitung mit der Quotientenregel
berechnen.
c) Für welches x0 < 0 hat die Tangente die Steigung − 94 ? Bestimmen Sie dort die
Tangentengleichung.
1
Bis zum Semesterende werden wöchentlich Sprechstunden angeboten.
Hier können Sie auch korrigierte Übungsblätter aus den letzten Wochen abholen.
Die Termine sind auf der Veranstaltungswebseite veröffentlicht.
Hinweis:
Gruppenübungen
Aufgabe 11.5 Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der Gleichungen
a) z 2 + 4z + 13 = 0
b) z 2 + z −
2
z
= 0, (z 6= 0).
Geben Sie anschließend eine Linearfaktorzerlegung der zugehörigen Polynome an.
Aufgabe 11.6 Sei i ∈ {1, 2, 3} und seien Funktionen fi : C → C gegeben durch
f1 (z) = z̄,
f2 (z) = az, a ∈ R,
f3 (z) = αz, α ∈ C mit |α| = 1.
Geben Sie für jede dieser Funktionen eine geometrische Interpretation und bestimmen Sie alle Fixpunkte, d.h. alle z0 ∈ C mit fi (z0 ) = z0 .
Hinweis: Verwenden Sie für f2 und f3 die Polarkoordinatendarstellung (exponentiell).
Aufgabe 11.7
a) Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahlen z1 = 3+3i,
z2 = 1 − i und z3 = cos(0.1) + i sin(0.1).
b) Wir betrachten das drehende Rad aus Anwendung 3.6 der Vorlesung. Die Position
des Punktes P zum Zeitpunkt t ist in der x-y-Ebene gegeben durch
x(t) = a cos(ω(t − t0 )), y(t) = a sin(ω(t − t0 )).
Wir können die Position (x(t), y(t)) des Rads kompakt mit Hilfe der komplexen
Zahlen beschreiben. Bestimmen Sie z(t) ∈ C so, dass z(t) dem Punkt (x(t), y(t))
im R2 entspricht. Skizzieren Sie die Lösung in der Gaußschen Zahlenebene.
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