KFU Graz M. Gomez Rocha W. Schweiger Mathematische Methoden für LAK SS 2013 1. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 4.3.2013) Aufgabe 1: Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + 2i, z2 = (1 − i)/2 und z3 = −2 + i. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der Ausdrücke: a) z13 − 3z12 + 2z1 b) z1 ·z3 4z2 −z3 c) z3 2 2z1 +2z2 +i Aufgabe 2: Welche komplexe Zahl z ∈ C erfüllt die Gleichung z − 1 + 2iz̄ − i = 0 ? Aufgabe 3: Komplexe Zahlen z = x + iy lassen sich durch Polarkoordinaten (r, φ) ausdrücken, indem man x = r cos φ und y = r sin φ setzt. Es ist dann r = |z| und φ = arctan(y/x). √ Es sei nun z1 = −1 + i und z2 = 1 + 3i. Berechnen Sie r und φ für a) z1 b) z2 c) z1 + z2 Hinweis: Versuchen Sie diese komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene darzustellen, um auf den richtigen Ast des Arcustangens zu kommen. Aufgabe 4: Suchen Sie die komplexen Lösungen der quadratischen Gleichung z 2 + (1 − 2i)z − (3 + i) = 0 indem Sie, so wie in der Vorlesung, quadratisch ergänzen. 1