Mathematische Methoden für LAK SS 2011

KFU Graz
R. Kleinhappel
W. Schweiger
Mathematische Methoden für LAK
SS 2011
1. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 7.3.2011)
Aufgabe 1: Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + 2i, z2 = (1 − i)/2 und
z3 = −2 + i. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der Ausdrücke:
a) z13 − 3z12 + 2z1
b)
z1 ·z3
4z2 −z3
c)
z3 2
2z1 +2z2 +i
Aufgabe 2: Welche komplexe Zahl z ∈ C erfüllt die Gleichung
z − 1 + 2iz̄ − i = 0 ?
Aufgabe 3: Komplexe Zahlen z = x + iy lassen sich durch Polarkoordinaten
(r, ϕ) ausdrücken, indem man x = r cos ϕ und y = r sin ϕ setzt. Es ist dann
r = |z| und ϕ = arctan(y/x).
√
Es sei nun z1 = −1 + i und z2 = 1 + 3i. Berechnen Sie r und ϕ für
a) z1
b) z2
c) z1 + z2
Hinweis: Versuchen Sie diese komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene darzustellen, um auf den richtigen Ast des Arcustangens zu kommen.
Aufgabe 4: Suchen Sie die komplexen Lösungen der quadratischen Gleichung
z 2 + (1 − 2i)z − (3 + i) = 0
indem Sie, so wie in der Vorlesung, quadratisch ergänzen.
Aufgabe 5: Suchen Sie die komplexen Lösungen der quadratischen Gleichung
z 2 + 2(1 − i)z − 3 − 6i = 0
indem Sie, so wie in der Vorlesung, quadratisch ergänzen.
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