x x > > > > ⋅⋅⋅ > 1 < < x

G. Sessler / R. Gobauer / H. Hornig
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – 1. Teil
- 2. Aufgabenblatt -
A12
Geben Sie - falls möglich - diejenigen reellen Zahlen an, die den folgenden
quadratischen Gleichungen genügen:
a) x 2 + 3 x − 1 0 = 0
b) x 2 − 6 x + 9 = 0
c) x 2 − 12 x + 100 = 0
d) Machen Sie jeweils die Rechenprobe mit dem Satz von Viëta.
e) Lösen Sie die Gleichung 1 + 0 , 5 x +
A13
A14
Welche der folgenden Mengen sind Intervalle:
a) A = { x | x ∈ R und -5 < x < 5 }
b) B = { x | x ∈ R und x2 ≥ 25 }
c) C = { x | x ∈ R und x < 5 }
d) D = { x | x ∈ R und
Zeigen Sie:
a) x 2 > x , falls
c)
A15
2
= 0
9x
x >1
b)
x 2 < x , falls
x < 1, x ≠ 0
x > x 2 > x 3 > x 4 > ⋅ ⋅ ⋅ > 0 , falls 0 < x < 1
Sei h ≥ -1. Dann gilt natürlich 1 + h ≥ 0.
a) Zeigen Sie: (1 + h)2 ≥ 1 + 2h
b) Zeigen Sie: (1 + h)3 ≥ 1 + 3h
n
c) Zeigen Sie: (1 + h) ≥ 1 + nh
∀ n ∈N
A16
Geben Sie alle reellen Zahlen an, für die gilt:
b) x − 2 < 5 x
a) x − 2 < 5
A17
Zeichnen Sie die folgenden Teilmengen von R × R = R :
2
a) A × B , wenn A = {1,2,3} und B = {-1,2} ist.
b) A × B , wenn A = {1,2,3} und B = [-1,2] ist.
c) A × B , wenn A = [1,3] und B = [-1,2] ist.
x >3}
-2-
A18
2
Skizzieren und beschreiben Sie die folgenden Teilmengen von R :
a) A1 =
b) B =
A19
x + 2 y ≤ 3 } ; A2 =
{( x, y )
x+2y > 3}
x + 2 y ≤ 3 u n d 4 x + 8 y > 1 3}
2
Skizzieren und beschreiben Sie die folgenden Teilmengen von R :
a) A =
c) C =
A20
{( x, y )
{( x, y )
{(x, y )
{( x, y )
x2 + y 2 ≤ 4
}
b) B =
xy > 2, x > 0 }
{(x, y )
x2 + 4y 2 = 4
}
Seien a > 0 und b > 0 reelle Zahlen. Wir setzen:
c1
a+b
=
(arithmetisches Mittel),
2
⎛1 2 1 2⎞
c 3 =⎜
+
⎟
b ⎠
⎝ a
−1
= 2⋅
c2 =
1
2
a
1
2
b
(geometrisches Mittel),
ab
(harmonisches Mittel).
a+b
a) Berechnen Sie: log c 2 und 1 c 3 .
b) Berechnen Sie c 1 , c 2 , c 3
, wenn a = 1 und b = 1 ist.
c) Zeichnen Sie alle Punkte (a,b), für die gilt: c 1 = 4 bzw. c 2 = 4 .
A21 a) Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypothenuse c gleich
der Summe der Quadrate über den Katheden a und b: a2 + b2 = c2.
Wissen Sie noch, wie man diesen Satz des Pythagoras beweisen kann?
b) Erläutern Sie anhand des Einheitskreises (d.h. Radius r = 1 ),
b1) wie man Winkel durch die Länge des Abschnitts auf dem
Einheitskreis messen kann;
b2) an welchen Strecken man die Winkelfunktionen sin x, cos x und
tan x ablesen kann;
b3) wieso stets gilt:
( sin x ) 2 + ( cos x )2 = 1
.