1. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
PD Dr. Christian Karpfinger
http://www.ma.tum.de/Mathematik/G8Vorkurs
1. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)
Aufgabe 1.1: Gehen Sie die Inhalte der heutigen Vorlesung in kleinen Gruppen durch und
fertigen Sie eine Zusammenfassung bzw. ein Formelblatt an.
Aufgabe 1.2: Es gibt drei Verdächtige für den Raub eines Lutschers im Süßwarenladen: a,b,
und c. Genau einer von ihnen hat den Lutscher gestohlen. Beim Verhör sagen Sie folgendes aus:
a) Ich war es nicht. Außerdem war ich gar nicht am Tatort.
b) Ich war es nicht. Außer mir war auch noch c am Tatort.
c) Ich war es nicht. Der Dieb ist a. b war nicht am Tatort.
Finden Sie unter der Annahme, dass die Unschuldigen die Wahrheit gesagt haben, den Dieb! Wer
war am Tatort, wer nicht? Hat der Dieb gelogen?
Aufgabe 1.3: Die Einwohner von Radersi sind strikt in zwei Gruppen getrennt: Solche, die sich
stets selbst rasieren und solche, die sich nur von Roberto dem Barbier rasieren lassen. Roberto
rasiert also genau diejenigen Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren. Begründen Sie, daß
Roberto nicht in Radersi wohnt.
Aufgabe 1.4: Vertauschen Sie in den folgenden Aussagen jeweils die Reihenfolge der Quantoren
∀ und ∃ und überprüfen Sie Sinn und Richtigkeit der entstehenden Aussagen:
a) ∀ n ∈
/ P ∪ {1} ∃ k ∈
/ {1, n} : k | n (P bezeichnet dabei die Menge aller Primzahlen),
b) ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N :
Aufgabe 1.5:
ist:
1
n
≤ 0, 001.
Es sei f : D → R eine Funktion, D ein Intervall. Man definiert: Die Funktion f
stetig auf D :⇔ ∀ ε > 0 ∀ x ∈ D ∃ δ > 0 : ∀ x0 ∈ D : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε .
gleichmäßig stetig auf D :⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ D ∀ x0 ∈ D : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε .
Wodurch unterscheidet sich die gleichmäßige Stetigkeit von der Stetigkeit? – machen Sie Bilder!
Können Sie eine Funktion angeben, die stetig und nicht gleichmäßig stetig ist?
1
Aufgabe 1.6:
a)
j
Q
j
P
n=1
k=1
Schreiben Sie folgende Ausdrücke aus:
!

n·k
b)
n
5 Q
P


n=1
Aufgabe 1.7:
3
P

k3



k=1
5i
i=1
k
P
Schreiben Sie folgende Ausdrücke in der Form
k
Q
an bzw.
a)
3
1
+
5
4
+
9
9
b)
2
3
+
4
9
+
6
27
+
Aufgabe 1.8:
17
16
+
+ ... +
8
81
1073741825
900
+ ... +
c)
18
19683
6
1
·
9
2
d) 1 +
·
12
3
1·2
1·3
· ... ·
+
an :
n=1
n=1
1·2·3
1·3·5
300
99
+ ··· +
1·2·3·...·13
1·3·5·...·25
Gegeben seien die folgenden Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R:
A := { x ∈ R | 5 > x > −2 } ,
B := { x ∈ R | 1 > x } ,
C := { x ∈ R | −1 < x ≤ 1 }
Bestimmen Sie folgende Mengen und skizzieren Sie diese auf der Zahlengeraden:
a) A ∩ C
b) B \ A
Aufgabe 1.9:
c) (R \ C) ∪ B
Gegeben seien die folgenden Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R:
A := { x ∈ R | −3 < x < 4 } ,
B := { x ∈ R | 2 ≤ x } ,
C := { x ∈ R | −1 ≤ x < 1 }
Bestimmen Sie folgende Mengen und skizzieren Sie diese auf der Zahlengeraden:
a) A ∪ B
b) C ∪ (R \ B)
Aufgabe 1.10:
c) (R ∩ B) ∪ A
d) ((A ∪ B) ∩ C) \ A
Gegeben seien die folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:
A := { x ∈ R | −2 < x < 5 }
B := { x ∈ R | 1 ≥ x }
C := { x ∈ R | x2 ≤ 4 }
D := { x ∈ R | x2 > 1 }
Bestimmen Sie jeweils die folgenden Mengen und skizzieren Sie diese auf der Zahlengerade:
a) A ∩ B
c) B \ C
e) C ∩ (A ∪ B)
b) A ∪ D
d) D \ (A ∩ B)
f) (R \ (A ∩ B)) ∪ (C ∩ D)
Aufgabe 1.11: Es seien A = { a, b, c, d } und B = { M | M ⊆ A }. Entscheiden und begründen
Sie, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind:
a) a ∈ B
d) A ∈ B
g) ∅ ∈ B
b) { b } ∈ B
e) A ⊆ B
h) ∅ ⊆ B
c) { a } ∈ A
f) { a } ⊆ A
i) { ∅ } ⊆ B
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