Sphärische Analysis und Numerik

27. Januar 2017
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Sphärische Analysis und Numerik
Wintersemester 2016/17
Übungsblatt 11
Bitte geben Sie Ihre Lösungen der Aufgaben am Freitag, 3. Februar 2017 in der Vorlesung ab.
Aufgabe 11.1
(8 Punkte):
Sei N = 2n ∈ N. Sei Un = span{1, sin(x), cos(x), . . . , sin(nx), cos(nx)}. Zeigen Sie:
(a) Für beliebige Zahlen b, c ∈ [0, 2π] gilt, dass W ∈ U1 mit W (x) = sin
x−b
2
sin
x−c
2
.
(b) Für G1 ∈ Un und G2 ∈ Um folgt, dass G1 · G2 ∈ Un+m .
(c) Für reelle Zahlen x1 , . . . , xN ist die Funktion T mit
T (x) =
N
Y
j=1
sin
x − xj
2
ein reelles trigonometrisches Polynom (vgl. Bemerkung 6.2) mit reellen Koezienten ak , bk .
(d) Das trigonometrische Polynom, dass in den N +1 Stützstellen x0 < x1 < . . . < xN die Stützwerte
y0 , . . . , yN ∈ C interpoliert, ist identische mit
T (x) =
N
X
k=0
Aufgabe 11.2
yk
Tk (x),
Tk (xk )
wobei Tk (x) =
N
Y
j=0
j6=k
sin
x − xj
2
.
(4 Punkte):
Sei D2 : CN → CN die lineare Abbildung mit
D2 c = (−cj−1 + 2cj − cj+1 )j=0,...,N −1 ,
wobei c = (c0 , c1 , . . . , cN −1 )T ∈ CN , c−1 = cN −1 , cN = c0 .
Sei M = diag(λ0 , λ1 , . . . , λN −1 ) ∈ CN ×N mit λk = 4 sin2 ( kπ
), k = 0, . . . , N − 1.
N
Zeigen Sie, dass D2 = F −1 M F und (D2 − λI)−1 = F −1 (M − λI)−1 F für λ 6= λk , wobei F die
Fouriermatrix der diskreten Fouriertransformation ist.
Bitte wenden!
Aufgabe 11.3
(4 Punkte):
(a) Sei y0 , . . . , yN −1 ein Datensatz komplexer Zahlen. Seien die komplexen Zahlen c0 , . . . , cN −1 deniert durch
N −1
(2j+1)kπ
γk X
ck =
yj e−i N ,
N j=0
k = 0, 1, . . . , N − 1,
mit gegebenen Koezienten γk 6= 0, k = 0, . . . , N − 1. Zeigen Sie:
yj =
N
−1
X
k=0
ck i (2j+1)kπ
e N ,
γk
j = 0, 1, . . . , N − 1.
(b) Sei nun y0 , . . . , yn−1 ein Datensatz reeller Zahlen. Seien die reellen Zahlen d0 , . . . , dn−1 deniert
durch
n−1
X
dk =
γk
n
yj cos
j=0
(2j + 1)kπ
2n
k = 0, 1, . . . , n − 1,
,
mit gegebenen Koezienten γk 6= 0, k = 0, . . . , n − 1. Zeigen Sie:
n−1
d0 X dk
yj =
+
cos
2
γ
k
k=1
(2j + 1)kπ
2n
,
j = 0, 1, . . . , n − 1.
Benutzen Sie Teil (a) mit N = 2n und yN −1−j = yj , j = 0, 1, . . . , n − 1 bzw.
γN −k = γk , k = 1, 2, . . . , n. Zeigen Sie für diese Situation, dass cN −k = −ck , k = 1, 2, . . . , n.
Hinweis zu (b):