I Komplexe Zahlen

I Komplexe Zahlen
Dr. Laura Keller
27. Februar 2016
1 Einleitungsbeispiel
Wir betrachten die Gleichung
x2 + x + 1 = 0
Die bekannte Formel für quadratische Gleichungen ergibt
√
−1 ± −3
x1,2 =
2
√
Wir wissen aber, dass −3 keine reelle Zahl sein kann.
Unser Ziel ist, eine neue Grösse einzuführen, sodass auch die obige
Gleichung gelöst werden kann.
Dazu führen wir die imaginäre/komplexe Einheit ein: Dies ist eine
Zahl j mit der Eigenschaft
j 2 = −1
2 Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen sind gerade diejenigen Zahlen, die wir
schreiben können als
z = a + bj
wobei
a, b ∈ R
Die Menge aller komplexen Zahlen bezeichnen wir mit C.
Also
C = {a + bj | a, b ∈ R}
Begriffe
Die Darstellung z = a + bj einer komplexen Zahl nennt man
Normalform (oder arithmetische Form).
a heisst Realteil, geschrieben a = Re(z).
b heisst Imaginärteil, geschrieben b = Im(z).
Ist a = 0, so nennt man z = bj rein imaginär.
3 Graphische Darstellung von komplexen Zahlen:
Gausssche Zahlenebene
Komplexe Zahlen können wir in der Ebene darstellen, indem wir
auf der horizontalen Achse den Realteil und auf der vertikalen
Achse den Imaginärteil abtragen.
imaginäre Achse
5
4
3
2
1
reelle Achse
0
-1
-1
0
1
2
3
4
5
Abbildung : Darstellung der komplexen Zahl z = 4 + 3j
Bemerkungen
I
Wir können eine komplexe Zahl z auch als Punkt in der Ebene
oder als Vektor auffassen.
I
Die Interpretation der Ebene als Menge der komplexen Zahlen
nennt man komplexe Ebene oder Gausssche Zahlenebene.
I
Der Betrag |z| einer komplexen Zahl z = a + bj ist die Länge
des dazugehörigen Vektors
p
|z| = a2 + b 2
I
Der Abstand zweier komplexer Zahlen z1 und z2 ist
d = |z2 − z1 | = |z1 − z2 |
I
Es gilt die Dreiecksungleichung für z, w ∈ C
|z + w | ≤ |z| + |w |
4 Arithmetik der komplexen Zahlen (Rechenregeln)
Addition und Subtraktion
Für zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + y1 j und z2 = x2 + y2 j gilt
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )j
sowie
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )j
Multiplikation
Für zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + y1 j und z2 = x2 + y2 j gilt
z1 · z2 = x1 x2 − y1 y2 + (x1 y2 + y1 x2 )j
Division
Um die Division zweier komplexer Zahlen anzugeben brauchen wir
eine Hilfsgrösse.
Für eine komplexe Zahl z = x + yj ist die zu z komplex konjugierte
Zahl gegeben durch
z = x + yj = x − yj
Eigenschaften der komplex konjugierten Zahl
Es gilt:
I
z · z = |z|2
I
z =z
I
z ± w = z ± w,
I
z · w = z · w,
I
z = z, falls z ∈ R
I
z = −z, falls z rein imaginär
z, w ∈ C
z, w ∈ C
Anwendung der komplex konjugierten Zahl
Die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir, indem wir mit
der komplex konjugierten Zahl des Nenners erweitern und dann wie
gewohnt rechnen.
Damit gelten dann auch die folgenden Regeln:
z·w
w ·w
=
I
z/w =
I
z/w = z/w ,
z·w
,
|w |2
z, w ∈ C
z, w ∈ C
Zusammenfassung
I
Was ist die komplexe/imaginäre Einheit?
Was sind komplexe Zahlen?
I
Wie können komplexe Zahlen graphisch dargestellt werden?
I
Welche Rechenregeln kennen Sie für die komplexen Zahlen?
I
Hinweise auf Aufgaben → Aufgabe 1.3, 1.7, 1.8, 1.10 und
1.11