Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Thérèse Tomiska, Helge Krüger, 5. Oktober 2006
Komplexe Zahlen - C
Thérèse Tomiska, Helge Krüger
5. Oktober 2006
Eine der Motivationen zur Einführung komplexer Zahlen war, dass man folgende Gleichung
lösen wollte:
x2 + 1 =
0
2
x =
√
x=
−1
−1
Da leider für jede Zahl a ∈ R gilt, dass a2 ≥ 0 (Proposition 6.3.2), kann es
1
√
−1 in R nicht geben.
Die imaginäre Einheit i
Dieses Problem behebt man, in dem man eine neue Zahl i einfügt mit der Eigenschaft:
i2 = −1
i wird die imaginäre Einheit genannt.
√
−1
i4n + 1
i
=
2
i
= −1
i4n + 2
3
i
= −i
i4n + 3
4
i
= 1
i4n
2
Es gilt nun:
=
=
=
=
i
−1
−i
1
1
i
=
i−1
=
−i
1
in
=
i−n
=
(−i)n
Komplexe Zahlen
Für die komplexe Zahl z = a + bi nennt man:
a
b
i
...
...
...
Realteil von z <z = 21 (z + z)
1
Imaginärteil von z =z = 2i
(z − z)
imaginäre Einheit
z := a − bi heißt die zu z konjugiert Komplexe Zahl. Oft schreibt man auch z ∗ .
Der Betrag einer komplexen Zahl z ist definiert als:
p
√
|z| := z · z =
a2 + b2
Rechnen mit komplexen Zahlen:
Für die komplexen Zahlen z1 = a + bi und z2 = c + di gelten die Rechenregeln:
z 1 ± z2
=
(a ± c) + (b ± d)i
z 1 · z2
=
(ac − bd) + (ad + bc)i
(Ausmultiplizieren)
z1
z2
=
(ac + bd) + (−ad + bc)i
(c2 + d2 )
(Erweitern mit c − di)
1
Komplexe Zahlen
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Thérèse Tomiska, Helge Krüger, 5. Oktober 2006
Gauß’sche Zahlenebene
Darstellung von komplexen Zahlen z als ”Vektoren”, siehe auch http://www.mat.univie.ac.at/˜helge/.
Abbildung 1: Die Gauss’sche Zahlenebene
r =|z|
ϕ
4
...
...
Länge des Vektors/ von z
Argument von z (0 ≤ ϕ < 2π)
Polardarstellung
z = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ) , (r ; ϕ)
Umrechnung:
r
a
b
=
=
=
tan ϕ
=
|z|
r · cos ϕ
r · sin ϕ
b
a
Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung:
z1 = (r1 ; ϕ1 ), z2 = (r2 ; ϕ2 )
z1 · z2
=
(r1 · r2 ; ϕ1 + ϕ2 )
z1
z2
=
r
( r1 ; ϕ 1 − ϕ 2 )
zn
=
(rn ; n · ϕ)
√
n
=
2
√ ϕ
k·2π
(nr; n +
(k = 0 , . . . , n − 1)
n )
Zur letzten Formel sei angemerkt, dass die Wurzel nicht eindeutig ist.
z
2