Brückenkurs Mathematik III - ¨Ubung 2

Universität der Bundeswehr München
28.04.2009
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Institut für Mathematik und Rechneranwendung
Univ. Prof. Dr. K. Marti
Brückenkurs Mathematik III - Übung 2
Komplexe Zahlen
Die Tatsache, dass die Gleichung x2 = 2 im Bereich Q
I der rationalen Zahlen
unlösbar ist, führte zur Einführung der irrationalen Zahlen durch Grenzwerte
von Folgen rationaler Zahlen und damit zum Körper IR der reellen Zahlen. Die
Gleichung x2 + 1 = 0 ist in IR aber immer noch nicht lösbar. Durch eine nochmalige Erweiterung des Zahlkörpers, nämlich durch Einführung der komplexen
Zahlen, werden in dem neu entstandenen Körper CI auch Gleichungen dieser Art
lösbar.
Definition 1 (Komplexe Zahlen)
a) Unter einer komplexen Zahl z wird
der formale Ausdruck z = a + bi verstanden , wobei a, b reelle Zahlen sind
und i die sogenannte imaginäre Einheit. a = Re(z) heißt Realteil von z,
b = Im(z) heißt Imaginärteil von z.
b) Zwei komplexe Zahlen z1 = a1 +b1 i und z2 = a2 +b2 i sind genau dann gleich,
wenn Real- und Imaginärteil übereinstimmen, also a1 = a2 , b1 = b2 . Somit
lassen sich komplexe Zahlen geometrisch mit Punkten der komplexen oder
Gaußschen Zahlenebene CI identifizieren.
c) Für z = a + bi heißt z̄ := a + (−b)i die zu z konjugiert komplexe Zahl.
d) Die komplexe Zahl z = a + 0i wird mit der reellen Zahl a identifiziert, in
Zeichen z = a. Falls a = 0, b 6= 0, also z = 0 + bi oder kurz z = bi, so heißt
z eine rein imaginäre Zahl. Falls a = b = 0, so ist z = 0 + 0i die reelle
Zahl 0. Umgekehrt bedeutet z = 0, dass a = b = 0.
Definition 2 (Arithmetische Operationen) Seien z1 = a1 + b1 i und z2 =
a2 +b2 i zwei komplexe Zahlen. Dann werden ihre Summe und ihr Produkt definiert
als
a) z1 + z2 := (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i,
b) z1 · z2 := (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i.
Definition 3 (Betrag, Argument) Sei z = a + bi.
a) Dann definiert
|z| :=
√
a2 + b 2
den Betrag von z.
b) Sei zusätzlich a 6= 0, dann heißt der durch
φ=













































arctan
b
a
π
2
,a > 0
, a = 0, b > 0
(1)
3π
2
π + arctan
, a = 0, b < 0
b
,a < 0
a
definierte Winkel φ = arg(z) das Argument von z.
Definition 4 (Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen) Sei z =
a + bi ∈ C.
I Dann bezeichnet (r, φ)T := (|z|, arg(z))T die Polarkoordinaten von
z, aufgefaßt als Punkt in kartesischen Koordinaten (a, b)T ∈ IR2 . Es gilt dann
a = Re(z) = r cos φ = |z| cos(arg(z)),
b = Im(z) = r sin φ = |z| sin(arg(z))
und
z = r cos φ + r sin φi = r(cosφ + isinφ) = reiφ = |z|ei arg(z) .
(2)
Aufgaben
5) Interpretieren Sie geometrisch in der komplexen Zahlenebene
a) die komplexe Zahl i,
b) die Operation z 7→ z̄,
c) die Summe und die Differenz zweier komplexer Zahlen z1 , z2 .
6) Berechnen Sie für z = a + bi, z̄ = a − bi
a) z + z̄, z − z̄,
b) z · z̄,
7)
z
.
z̄
a) Berechnen Sie i2 ,
1
.
i
b) Sei z1 = λ ∈ IR und z2 = a + bi ∈ C.
I Berechnen Sie z1 · z2 .
8) Seien z1 = 3 + 4i und z2 = 1 − 2i.
Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 ,
z1
, z¯1 und z¯2 .
z2
9) In welchen Bereichen von CI liegen die komplexen Zahlen z, für die gilt
a) |z| ≤ 1, |z| < 1 und |z − 1| < 1,
b) z · z̄ = 1,
c) | arg(z)| <
π
,
2
d) |Re(z)| + |Im(z)| = 1
e) |Re(z)| · |Im(z)| = 1.
10) Berechnen Sie den Absolutbetrag |z| von
z = −2i(3 + i)(2 + 4i)(1 + i).
11) Stellen Sie die komplexen Zahlen
√
z = 2i, −1 − i und 3 − i 3
in der Polarkoordinatenform (2) dar.
12) Wie lautet die kartesische Darstellung z = a + bi der komplexen Zahlen z
mit den Polarkoordinaten
a) r = 2, φ = 60o ,
√
b) r = 2 3, φ = 300o .
13) Zeigen Sie, dass für eine komplexe Zahl z = a + bi stets gilt
Re(z) =
z + z̄
,
2
Im(z) =
z − z̄
.
2i
14) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z ∈ C,welche
I
a) die Ungleichung
2iz + 4 2
(1 + i)z ≤2
b) die Gleichung
z 2 − iz̄ = 0
erfüllen und skizzieren Sie die Lösungsmengen.
15) Bringen Sie komplexe Zahl
z=
7 + 11i
3+i
−
2
5
i +i
2i + i4
in die Form z = a + bi, a, b ∈ IR.