HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik II Prof

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Wirtschaftsmathematik II
Grundlagen
Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 2:
Komplexe Zahlen
1. Berechnen Sie die arithmetische Darstellung der folgenden komplexen Zahlen:
2
5
(b) z = 3+4i
+ 3+4i
(a) z = (1+i)
i−1
5
2. Gegeben sind die folgenden
√ komplexen Zahlen:
z1 = 1 + i, z2 = −2 + 2 3i, z3 = −2.
(a) Berechnen Sie den Betrag |zk | sowie das Argument φk dieser komplexen Zahlen.
(b) Stellen Sie die komplexe Zahl zk und die konjugiert komplexe Zahl zk in der
Gaußschen Zahlenebene dar.
(c) Geben Sie die trigonometrischen und exponentiellen Darstellungen von zk und
zk an.
3. Berechnen Sie die arithmetische Darstellung der folgenden komplexen Zahlen:
3
4−2i
(a) z = (1−i)
(b) z = (2+i)
, (c) (1 − i)8 , (d) (2 − i)10 .
2,
2−3i
4. Gegeben sind die folgenden komplexen
Zahlen:
√
z1 = 2 − 2i, z2 = −3i, z3 = 3 − 3i.
(a) Berechnen Sie den Betrag |zk | sowie das Argument φk dieser komplexen Zahlen.
(b) Stellen Sie die komplexe Zahl zk und die konjugiert komplexe Zahl zk in der
Gaußschen Zahlenebene dar.
(c) Geben Sie die trigonometrischen und exponentiellen Darstellungen von zk und
zk an.
5. Für die folgenden komplexen Zahlen z ∈ C bestimme man Re(z), Im(z), |z| und z̄.
(a) z = (4 − 6i) + 2(2i + 3) (b) z = (1 + 2i)2 + (3 − 5i) (c) z = i101
5+2i
(d) z = 4−2i
(1+i)2
(e) z = (1−i)2
6. Für die folgenden komplexen Zahlen z ∈ C bestimme man Re(z), Im(z), |z| und
arg(z). Außerdem
gebe man √
die exponentielle Darstellung
von z an.
√
√
100
(a) z = 3 +√3i
(b) z = 3 − 3i (c) z = ( 3 − 3i)
(d) z = (i − 3)8 (e) z = 3ei(π/3)
(f) z = −3ei(π/3)
7. Bestimmen Sie die Lösungsmengen
mit z ∈ C.
√ der folgenden Gleichungen
2
3
4
(a) z + 2iz + 3 = 0 (b) z − 3 + 3i = 0 (c) z = 1
(d) z 5 − 32i = 0
(e) 2x2 − 2x + 5 = 0 (f) x2 − 2x + 4 = 0
(g) x4 − 2x2 + 4 = 0 (h) x8 − x2 = 0
8. Gegeben sind die komplexen
√ i·150◦ Zahleniπ
◦
−i3π/4
z1 = 2e
, z2 = 3e
, z3 = e , z4 = 2eiπ/2 , z5 = 3e−i·70 .
Geben Sie die trigonometrische und die arithmetische Darstellung dieser komplexen
Zahlen an und stellen Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.
9. Berechnen Sie jeweils sämtliche Lösungen der folgenden Gleichungen und stellen Sie
sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.
(a) z 4 = 1√
(b) z n = −1 für n = 2, 3, 4 (c) z 5 = 32
√
(d) z 6 = 23 i − 21 (e) z 5 = 1 − 3i
Einige Lösungen
1. (a) 1 − i, (b) 6/5
√
2. (c) exponentielle Darstellungen: z1 = 2eiπ/4 , z2 = 4e2iπ/3 , z3 = 2eiπ
3. (a) 1 + 2i, (b) −29/13 + (28/13)i, (c) 16,
−237 + 3116i
√ (d)
√
−iπ/4
4. (c) exponentielle Darstellungen: z1 = 2 2e
, z2 = 3e−iπ/2 , z3 = 2 3e−iπ/6
5. (a) Re(z) = 10, Im(z) = −2, (b) Re(z) = 0, Im(z) = −1, (c) Re(z) = 0, Im(z) = 1,
(d) Re(z) = 4/5,
√ Im(z) = 9/10, (e) Re(z) = −1,√Im(z) = 0
6. (a) |z| = 2 3, arg(z) = π/3, (b) |z| = 2 3, arg(z)
= −π/3, (c) √|z| = 2100 350 ,
√
arg(z) = 2π/3, (d) |z| = 256, arg(z) = 2π/3, (e) z = 3 2 3 i + 32 , (f) z = − 3 2 3 i − 32
√
7. (a) −3i, i, (b) zk = 6 12ei(−π/9+2kπ/3)
, k√= 0, 1, 2,√(c) ±1, ±i,
zk =√2ei(π/10+2kπ/5) , k =
√
√ (d)
iπ/6
−i5π/6
−iπ/6
0, 1, 2, 3, 4, (e)√1/2±3i/2, (f) √
1± 3i, (g) 2e , 2e
, 2e
, 2ei5π/6 , (h) x1/2 =
0, ±1, 1/2√
± i 3/2,
√ −1/2 ± i 3/2√
◦
8. z1 = − 2 − 2i, z2 = −3/2 + 3i/2, z3 = −1,√z4 = 2i, z5 =√
3(cos 70◦√
− i sin 70
√)
9.√(a) ±1, ±i, (b) n = 2 : ±i; n = 3 : −1, 1/2 ± i 3/2; n = 4 : 2/2
√ ± i 2/2, − 2/2 ±
i 2/2, (c) 2ei2kπ/5 , k = 0, . . . , 4, (d) ei(π/9+kπ/3) , k = 0, . . . , 5, (e) 5 2ei(−π/15+2kπ/5) , k =
0, . . . , 4