Aufgabe - Institut fuer Mathematik - Humboldt

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Mathematik für Informatiker/Innen II
(Analysis I)
Sommersemester 2014
Prof. Andreas Griewank,
Caroline Löbhard
Wiederholungsklausur
Donnerstag, 4.9.2014
(120 Minuten)
Name:
Vorname:
Studiengang:
Matrikelnummer:
Aufgabe
1
2
3
4
5
P
Punkte
12
8
6
8
6
40
erreichte Punkte
Korrektor
Hinweise:
1. Bitte das Deckblatt vollständig und gut lesbar ausfüllen.
2. Sie können in der Klausur als Hilfsmittel ein beidseitig von Hand beschriebenes A4-Blatt
benutzen.
3. Bitte fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an.
4. Numerieren Sie die Lösungsblätter durch und versehen Sie alle Blätter mit Ihrem Namen und
Ihrer Matrikelnummer.
5. Die Lösungen zu allen Aufgaben (auch Aufgabe 1) sollen möglichst gut begründet werden.
6. Aufgaben können auch in Teilen bearbeitet werden.
7. Nach Beendigung der Klausur sind die Lösungsblätter im Deckblatt abzugeben.
Aufgabe 1. (12 Punkte) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils durch einen kurzen Beweis oder ein Gegenbeispiel.
a) Für jede Zahl s ∈ R \ Q existiert ein t ∈ R mit s + t ∈ Q.
b) Es gilt
\
n∈N
1
1
− , 1 + n = {1, 2}.
n!
2
c) Ist die Folge (xn )n∈N ⊂ R konvergent, so ist (nxn )n∈N divergent.
d) Es seien (an )n∈N , (bn )n∈N ⊂ R konvergente Folgen reeller Zahlen, und die Folge (cn )n∈N sei
definiert als



an , falls n ungerade,
cn =


bn , falls n gerade.
Die Folge (cn )n∈N besitzt zwei Häufungspunkte.
e) Die b-adische Darstellung der rationalen Zahl
f) Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen
P∞
37
2
1
k=0 k!
mit b = 4 ist 102, 2.
und
2k
k=0 k!
P∞
konvergiert gegen e2 .
g) Es gilt
sup{x ∈ R | x2 − 5x + 6 ≤ 0} = 3.
h) Die Abbildung h : (0, ∞) → R, h(x) = | log(x + 1)| ist differenzierbar.
Aufgabe 2. (8 Punkte) Untersuchen Sie jeweils, ob die folgenden Reihen absolut oder bedingt
konvergieren oder divergieren.
a)
∞
X
n2 + 1
n=0
n!
∞
X
1
√
;
b)
n
n
n=0
;
P∞
P∞
k
k
c) Es seien zwei Potenzreihen
k=0 bk x mit den Konvergenzradien ra , rb ∈ R
k=0 ak x ,
gegeben. Zeigen Sie, dass die Reihe
∞
X
ak bk xk
k=0
für alle x ∈ R mit |x| < ra rb absolut konvergiert.
Folgt daraus Divergenz für alle x ∈ R mit |x| > ra rb ?
Aufgabe 3. (6 Punkte) Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte für x ∈ R existieren und
berechnen Sie diese gegebenenfalls:
√
sin(x) + cos(x)
1
log(x3 + 1)
a) lim
,
c)
lim
x sin
.
,
b) lim
2
x→0
x→0, x>0
x→∞
x
x
log(x )
Aufgabe 4. (8 Punkte) Zwei Autos sind zum Zeitpunkt t an den Positionen a(t) ∈ R beziehungsweise b(t) ∈ R längs einer Straßenstrecke. Angenommen, a(0) = b(0) und zum Zeitpunkt T > 0 gilt
a(T ) < b(T ).
a) Beweisen Sie mit Hilfe des verallgemeinerten Mittelwertsatzes, daß wenn die Funktionen
a : (0, T ) → R und b : (0, T ) → R positiv, differenzierbar und monoton steigend sind, es
mindestens einen Zeitpunkt τ gibt, an dem a0 (τ ) < b0 (τ ).
b) Erklären Sie, was die Bedingungen a(0) = b(0), a(T ) < b(T ) und a0 (τ ) < b0 (τ ) für die beiden
Autos bedeuten.
c) Diskutieren Sie, ob die Aussage aus a) auch gilt, wenn die Autos rückwärts fahren dürfen,
d.h. wenn es auch t ∈ (0, T ) gibt mit a0 (t) < 0 oder b0 (t) < 0.
Aufgabe 5. (6 Punkte) Es sei
π π
f: − ,
→ R,
2 2
f (x) = log(cos(x)).
a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom T2 (f, 0)(x) zweiten Grades von f im Punkt x0 = 0.
b) Zeigen Sie, dass für alle x ∈ [− π4 , π4 ] gilt:
2
|f (x) − T2 (f, 0)(x)| ≤ |x|3 .
3