Aufgabe 1: (6 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgende Formel für alle

Aufgabe 1: (6 Punkte)
Zeigen Sie, dass die folgende Formel für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt:
n
X
1
k 3 = n2 (n + 1)2
4
k=1
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Gegeben sei die Menge
M :=
1
|n∈N .
n
Entscheiden Sie, ob M ein Supremum und/oder ein Infimum hat und bestimmen
Sie dieses, falls es existiert. Die Antwort ist genau zu begründen.
Aufgabe 3: (12 Punkte)
Sind die folgenden Aussagen für reelle, beschränkte Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N wahr
oder falsch? Geben Sie jeweils entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel mit
einer genauen Begründung.
a) Ist lim an = lim an , so ist die Folge (an )n∈N monoton.
b) lim (an + bn ) ≤ lim an + lim bn .
c) lim (an + bn ) ≤ lim an + lim bn .
Aufgabe 4: (10 Punkte)
Gegeben sei die Potenzreihe
∞
X
2n
n=1
n2
zn
a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihe.
b) Bestimmen Sie alle z ∈ C, für die diese Potenzreihe konvergiert.
Aufgabe 5: (9 Punkte)
P
n
Sei ∞
n=0 an z eine Potenzreihe. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen
zutreffen. Geben Sie entweder einen Beweis der Aussage oder ein Gegenbeispiel mit
einer genauen Begründung.
a) Falls die Reihe für z = 2i konvergiert, dann konvergiert sie auch für z = −1.
b) Falls die Reihe für z = 1 divergiert, dann divergiert sie auch für z = −1.
c) Ist (an )n∈N beschränkt, so konvergiert die Potenzreihe für alle z mit |z| < 1.
Aufgabe 6: (12 Punkte)
Bestimmen Sie, ob die gegebenen Folgen konvergieren und bestimmen Sie ggf. ihren
Grenzwert.
4k(k + 1)2 − 2k 2 + k − 1
√
.
(k + 3)3 + k + 1
√
k
b) bk := k 2 − 1 .
a) ak :=
c) ck :=
ln k k
.
k2
d) dk :=
ek + 1
1
ln −k
.
k+1 e +1
Aufgabe 7: (9 Punkte)
Sei f : R → R gegeben durch f (x) := ex + arctan x.
a) Zeigen Sie, dass f streng monoton steigend ist.
b) Sei f −1 die Umkehrfunktion von f . Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f −1 .
c) Bestimmen Sie f −1 (1) und (f −1 )0 (1).
Aufgabe 8: (9 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind für jede Funktion f : R → R wahr? Geben Sie
entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel mit einer genauen Begründung.
a) Ist f differenzierbar in x0 , so ist f stetig in x0 .
b) Ist f stetig in x0 , so ist f differenzierbar in x0 .
c) Ist f differenzierbar und streng monoton steigend, so ist f 0 (x) > 0 für alle
x ∈ R.
Aufgabe 9: (12 Punkte)
Es sei f : (0, 1) → R gegeben durch f (x) := xx .
a) Bestimmen Sie limx→0+ f (x).
b) Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von f .
c) Untersuchen Sie, ob f eine konvexe oder konkave Funktion ist.
d) Bestimmen Sie die Bildmenge f (0, 1) von f und skizzieren Sie den Graphen
von f .
Aufgabe 10: (15 Punkte)
Es sei f : (−π/2, π/2) → R gegeben durch
√
f (x) := sin x + 1.
a) Berechnen Sie die Ableitungen f 0 und f 00 .
b) Zeigen Sie: Es gibt ein c ∈ R, so dass f 00 (x) = cf (x) für alle x, und bestimmen
Sie den Wert von c.
c) Zeigen Sie: f (2n) (x) = cn f (x) für alle n ∈ N0 , wobei c die Konstante aus b) ist.
d) Bestimmen Sie die Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt x0 = 0.